九州大学 1997年度理系数学第5問(c) 解答・解説

問題

正の数 $c$ の $k$ 乗根 $k c$ （ $k$ は2以上の整数）の近似値を求めるため

f (x) = x^{k} - c, g (x) = x - \frac{f ( x )}{f ^{'} ( x )} (x > 0)

とおき，

k c < a_{1}, a_{n + 1} = g (a_{n}), (n = 1, 2, 3, \dots\dots)

とする．

(1) $k c < a_{n}$ ならば， $k c < a_{n + 1} < a_{n}$ を示せ．

(2) $k = 3$ のとき， $3 c < a_{n}$ ならば， $a_{n + 1} - 3 c < \frac{1}{3 c} (a_{n} - 3 c)^{2}$ を示せ．

(3) $k = 3$ ， $c = 2$ ， $a_{1} = 1.3$ のとき， $a_{5} - 32 < \frac{1}{2 ^{5} \cdot 10 ^{16}}$ を示せ．

出典：九州大学 1997年度前期日程第2次学力試験理系第5問(c)

方針

$r = k c$ とおく。更新式 $g (x)$ はニュートン法の式であり、 $x > r$ なら $g (x) < x$ はすぐ分かる。 $g (x) > r$ は $u = x / r > 1$ として $(k - 1) u^{k} + 1 > k u^{k - 1}$ を示す。(2)では $k = 3$ の更新式を明示的に整理し、誤差 $a_{n + 1} - r$ を $(a_{n} - r)^{2}$ の倍数として表す。(3)は誤差漸化式を4回反復し、 $1. 2^{3} < 2 < 1. 3^{3}$ から $0 < e_{1} < 0.1$ を使う。

解答

(1) $r = k c$ とおく。 $x > 0$ に対して $g (x) = x - \frac{x ^{k} - c}{k x ^{k - 1}} = \frac{( k - 1 ) x ^{k} + c}{k x ^{k - 1}}$ である。 $a_{n} > r$ なら $a_{n}^{k} - c > 0$ なので $a_{n + 1} = a_{n} - \frac{a _{n}^{k} - c}{k a _{n}^{k - 1}} < a_{n}$ である。次に $a_{n + 1} > r$ を示す。 $u = a_{n} / r$ とおくと $u > 1$ であり、 $c = r^{k}$ だから $a_{n + 1} > r$ は $\frac{( k - 1 ) u ^{k} + 1}{k u ^{k - 1}} > 1$ と同値である。すなわち $(k - 1) u^{k} + 1 > k u^{k - 1}$ を示せばよい。左辺から右辺を引いたものを $H (u) = (k - 1) u^{k} - k u^{k - 1} + 1$ とおくと $H (1) = 0$ であり $H^{'} (u) = k (k - 1) u^{k - 2} (u - 1) > 0 (u > 1)$ である。よって $u > 1$ で $H (u) > 0$ となる。したがって $r < a_{n + 1} < a_{n}$ である。

(2) $k = 3$ とし、 $r = 3 c$ とおく。更新式は $a_{n + 1} = a_{n} - \frac{a _{n}^{3} - r ^{3}}{3 a _{n}^{2}} = \frac{2 a _{n}^{3} + r ^{3}}{3 a _{n}^{2}}$ である。したがって

a_{n + 1} - r = \frac{2 a _{n}^{3} + r ^{3} - 3 r a _{n}^{2}}{3 a _{n}^{2}} = \frac{( a _{n} - r ) ^{2} ( 2 a _{n} + r )}{3 a _{n}^{2}}

である。

ここで $a_{n} > r > 0$ だから $\frac{2 a _{n} + r}{3 a _{n}^{2}} < \frac{1}{r}$ である。実際、これは $r (2 a_{n} + r) < 3 a_{n}^{2}$ すなわち $(a_{n} - r) (3 a_{n} + r) > 0$ と同値である。よって $a_{n + 1} - r < \frac{1}{r} (a_{n} - r)^{2}$ である。

(3) $r = 32$ , $e_{n} = a_{n} - r$ とおく。(2)より $e_{n + 1} < \frac{e _{n}^{2}}{r}$ である。これを繰り返すと

e_{2} < \frac{e _{1}^{2}}{r}, e_{3} < \frac{e _{1}^{4}}{r ^{3}}, e_{4} < \frac{e _{1}^{8}}{r ^{7}}, e_{5} < \frac{e _{1}^{16}}{r ^{15}}

である。

また $1. 2^{3} < 2 < 1. 3^{3}$ なので $1.2 < r < 1.3$ である。したがって $0 < e_{1} = 1.3 - r < 0.1$ である。さらに $r^{15} = (r^{3})^{5} = 2^{5}$ だから

0 < a_{5} - 32 = e_{5} < \frac{( 0.1 ) ^{16}}{2 ^{5}} = \frac{1}{2 ^{5} \cdot 1 0 ^{16}}

である。

九州大学 1997年度理系数学 第5問(c)

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