九州大学 1997年度
理系数学 第2問

解答

(1) まず $u(0)=m,v(0)=m$ であるから $g(0)=v(0)-0\cdot u(0)=m>0$ である。また

である。$0\leqq t<1$で$t-1<0$、かつ$S(t)>0$なので $g(1)<0$ である。

さらに $u^{\prime }(x)=S(x),v^{\prime }(x)=xS(x)$ であるから

である。ここで $u(x)={\int }_0^{x}S(t)dt+m>0$ だから $g^{\prime }(x)<0$ である。

(2) $u(x)>0$なので $f(x)=x$ は $\frac{v(x)}{u(x)}=x$ すなわち $v(x)-xu(x)=0$ と同値である。これは $g(x)=0$ と同じである。

(1)より$g(0)>0$, $g(1)<0$であり、$g$は連続で狭義単調減少である。したがって$g(x)=0$を満たす$x$が$0<x<1$にただ1つ存在する。よって$f(x)=x$を満たす$x$もただ1つ存在する。

(3) そのただ1つの値を$a$とする。$f$を微分すると

である。 $S(x)>0$, $u(x)>0$であり、$g$は$a$で0になる狭義単調減少関数である。したがって $0<x<a\text{ では }g(x)>0,a<x\text{ では }g(x)<0$ である。よって $0<x<a\text{ では }{f}^{\prime }(x)<0,a<x\text{ では }{f}^{\prime }(x)>0$ である。したがって$f(x)$は$x=a$で最小値をとる。このとき$f(a)=a$であるから、最小値は $a$ である。