問題
(1) 次の［］の中をうめよ．
(i) 2直線，が1点で交わるとき，上にない点について，から，にそれぞれ垂線，をひく．ただし，，はと異なるとする．このとき，がの二等分線上にあるための必要十分条件は，［あ］が成り立つことである．
(ii) 2点，に対し，点が線分の垂直二等分線上にあるための必要十分条件は，［い］［う］が成り立つことである．
(2) のの二等分線とこの三角形の外接円との交点でと異なる点をとおく．
(i) 線分上にとなる点をとると，より辺，にひいた垂線の長さは等しいことを示せ．
(ii) 線分のの方向への延長上にある点から直線，にひいた垂線の長さが等しいならば，は線分の中点となることを示せ．
方針
(1)は基本事実の確認で、角の二等分線は2直線までの距離が等しい点の集合、線分の垂直二等分線は両端からの距離が等しい点の集合である。(2)では、が角の二等分線で外接円と再び交わるため、は弧の中点になりが使える。(i)はから三角形の角を追ってがの二等分線であることを示し、(1)の距離条件へ戻す。(ii)は等距離条件からが角の二等分線であることを使い、同じ角追いでを導く。
解答
(1) 空欄は である。すなわち、点が角の二等分線上にあることは2辺を含む直線までの距離が等しいことと同値であり、点が線分の垂直二等分線上にあることは両端からの距離が等しいことと同値である。
(2)(i) , , とおく。は角の二等分線であり、は外接円上にあるので、弧と弧は等しい。したがって である。
また、は線分上にありである。三角形はの二等辺三角形である。さらに だから
である。一方なので となり、したがって である。よってはの二等分線である。
(1)の角の二等分線の性質より、から辺, へ下ろした垂線の長さは等しい。
(2)(ii) 点から直線, に下ろした垂線の長さが等しいので、(1)よりは直線, のつくる角の二等分線上にある。はの方向への延長上にあるから、該当するのはを通る外側の二等分線である。
この二等分線と, の位置関係を(i)と同じ角で追うと となる。したがって三角形は を満たす。ところが(i)の設定でであるから である。点は同一直線上にあり、とはをはさんで反対側にある。よっては線分の中点である。