問題
，を与えられた実数とする．
(1) 方程式がただ1つの解をもつときの条件を述べよ．
また，この方程式が無数の解をもつときの条件および，解をもたないときの条件を述べよ．
(2) 連立1次方程式
がただ1つの解をもつときのの条件を求め，このときの解を求めよ．
(3) (2)の連立1次方程式が無数の解をもつときのの条件を求めよ．さらに，このときの解を，，とするとき，，をで表せ．
(4) (2)の連立1次方程式が解をもたないときのの条件を求めよ．
出典：九州大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第5問(a)
方針
(1)は1次方程式の係数が0かどうかで分類する。(2)以降は、1本目の式からを消去し、の2元連立へ落とす。消去後の係数行列の行列式がになるため、で一意解、とでそれぞれ無数解・解なしを直接確認する。
解答
(1) 方程式 について、ならば とただ1つに定まる。のときは、ならばすべての実数が解なので無数の解をもち、ならばとなって不可能なので解をもたない。
(2) 連立方程式を成分で書くと である。第1式から である。これを第2式、第3式に代入すると を得る。この2元連立の係数の行列式は である。したがって のとき、ただ1つの解をもつ。
このとき解くと である。さらに より である。
(3) のとき、消去後の2式はともに となる。したがって無数の解をもつ。とおくと であり である。よって と表される。
(4) のとき、消去後の2式は である。第1式の両辺を倍すると となり、第2式と矛盾する。したがって解をもたない。
以上より、解をもたない条件は である。