九州大学 1997年度
理系数学 第4問(b)

解答

(1) $\alpha =i$, $\theta =\pi /2$である。点$z$を点$i$のまわりに$\pi /2$だけ回転した点を$w$とすると $w=i+(z-i)i=i(z+1-i)$ である。条件は$|w|=|i|/2=1/2$だから $|z+1-i|=\frac{1}{2}$ である。したがって軌跡は、中心$-1+i$、半径$1/2$の円である。

(2) $u=\cos \theta +i\sin \theta$とおく。回転後の点は $w=\alpha +(z-\alpha )u$ である。条件$|w|=|\alpha |/2$において、$|u|=1$であるから $|u^{-1}w|=\frac{|\alpha |}{2}$ である。すなわち $|z+\alpha (u^{-1}-1)|=\frac{|\alpha |}{2}$ である。ここで$u^{-1}=\cos \theta -i\sin \theta$だから $\left|z-\alpha (1-\cos \theta +i\sin \theta )\right|=\frac{|\alpha |}{2}$ となる。したがって軌跡は、中心 $\alpha (1-\cos \theta +i\sin \theta )$ 半径 $\frac{|\alpha |}{2}$ の円である。

(3) $\alpha$が0でない実数であるとき、中心の実部は $\alpha (1-\cos \theta )$ であり、半径は$|\alpha |/2$である。虚軸に接する条件は $|\alpha (1-\cos \theta )|=\frac{|\alpha |}{2}$ である。$0\leqq \theta <2\pi$では$1-\cos \theta \geqq 0$だから $1-\cos \theta =\frac{1}{2}$ である。よって $\cos \theta =\frac{1}{2}$ となり $\theta =\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3}$ である。