九州大学 1997年度理系数学第3問(a) 解答・解説

問題

(1) $2^{m} ≦ 4 m^{2}$ であるが， $2^{m + 1} > 4 (m + 1)^{2}$ である最小の自然数 $m$ を求めよ．

(2) $m$ を(1)で求めた自然数とする．そのとき $m < n$ を満たすすべての自然数 $n$ について， $4 n^{2} < 2^{n}$ が成り立つことを示せ．

(3) $S_{n} = k = 1 \sum n 2^{k} - k = 1 \sum n 4 k^{2}$ とする． $n$ を動かしたときの $S_{n}$ の最小値を求めよ．

出典：九州大学 1997年度前期日程第2次学力試験理系第3問(a)

方針

(1)は境目を直接確認し、 $m = 8$ を得る。(2)は $n = 9$ で $4 n^{2} < 2^{n}$ を確認した後、比 $2^{n} / (4 n^{2})$ が $n ≧ 3$ で増加することを使って、すべての $n ≧ 9$ へ広げる。(3)は $S_{n} - S_{n - 1} = 2^{n} - 4 n^{2}$ を見る。 $n ≦ 7$ では負、 $n = 8$ では0、 $n ≧ 9$ では正になるため、最小は $n = 7, 8$ で起こる。

解答

(1) 条件を順に確認する。 $m = 7$ では $2^{7} = 128 ≦ 4 \cdot 7^{2} = 196$ であるが $2^{8} = 256 > 4 \cdot 8^{2} = 256$ は成り立たない。 $m = 8$ では $2^{8} = 256 ≦ 4 \cdot 8^{2} = 256$ であり、さらに $2^{9} = 512 > 4 \cdot 9^{2} = 324$ である。したがって求める最小の自然数は $m = 8$ である。

(2) まず $n = 9$ では $4 n^{2} = 324 < 512 = 2^{9}$ である。次に $A_{n} = \frac{2 ^{n}}{4 n ^{2}}$ とおくと $\frac{A _{n + 1}}{A _{n}} = 2 (\frac{n}{n + 1})^{2}$ である。 $n ≧ 3$ では $2 n^{2} > (n + 1)^{2}$ なので $\frac{A _{n + 1}}{A _{n}} > 1$ である。したがって $A_{n}$ は $n ≧ 3$ で増加する。 $A_{9} > 1$ であるから、すべての $n ≧ 9$ 、すなわち $m < n$ を満たすすべての自然数 $n$ について $4 n^{2} < 2^{n}$ が成り立つ。

(3) $S_{n} - S_{n - 1} = 2^{n} - 4 n^{2}$ である。ただし $S_{0} = 0$ と見ればよい。(1),(2)より、 $n = 1, 2, \dots, 7$ では $2^{n} - 4 n^{2} < 0$ 、 $n = 8$ では $2^{8} - 4 \cdot 8^{2} = 0$ であり、 $n ≧ 9$ では $2^{n} - 4 n^{2} > 0$ である。したがって $S_{n}$ は $n = 7$ まで減少し、 $n = 8$ で同じ値を保ち、その後増加する。

よって最小値は $S_{7} = S_{8}$ である。計算すると $\sum_{k = 1}^{7} 2^{k} = 2^{8} - 2 = 254$ であり $\sum_{k = 1}^{7} 4 k^{2} = 4 \cdot \frac{7 \cdot 8 \cdot 15}{6} = 560$ である。したがって $S_{7} = 254 - 560 = - 306$ である。求める最小値は $- 306$ である。

九州大学 1997年度理系数学 第3問(a)

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理系数学第3問(a)