問題
次の命題(1)，(2)，(3)について，真のときは証明を与え，偽のときは反例を与えよ．
(1) ，を実数とする．
かつならば，である．
(2) ，，を実数とする．
すべての実数についてならば，である．
(3) を整数とする．
2次方程式が有理数の解をもつならば，は偶数である．
出典：九州大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問(b)
方針
各命題を独立に真偽判定する。(1)は右辺から左辺を引き、に因数分解する。(2)はを許しているため、定数関数の反例が作れる。(3)は整数係数の最高係数1の2次方程式なので、有理数解をもてばその解は整数であることを使い、の偶奇を調べる。
解答
(1) 真である。実際、
である。, より だから である。よって が成り立つ。
(2) 偽である。反例として をとる。このとき、すべての実数について である。しかし であり、ではない。したがって命題は偽である。
(3) 真である。有理数解を既約分数で表す。ただしは整数で, とする。これを に代入してを掛けると である。左辺の後ろ2項はで割り切れるので、もで割り切れる。よりである。したがって有理数解は整数である。
整数解をとすると より である。とは一方が偶数であるから、積は偶数である。よっては偶数である。