問題
双曲線 の接線にこの双曲線の焦点， より垂線，をひく．
(1) をで表せ．
(2) ，は，原点を中心とする半径の円周上にあることを示せ．
(3) 原点から接線への距離をとするとき，の面積をで表せ．さらにこの接線を動かすとき，のとり得る範囲およびの最大値を求めよ．
出典：九州大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第5問(b)
方針
接線を双曲線へ代入し、2次方程式が重解をもつ条件からを出す。焦点から接線へ下ろした垂線の足は、直線への射影として座標を求め、と接線条件を使って, を示す。(3)ではが半径の円と接線との交点であることを使い、原点から接線までの距離に対する弦の長さから面積を求める。
解答
(1) 接線を とおく。これを双曲線 に代入すると である。これはについての2次方程式であり、接するためには重解をもつ必要がある。判別式を0とおくと を得る。したがって である。
(2) 双曲線の焦点はを満たす。直線を と書く。焦点からこの直線へ下ろした垂線の足をとする。垂線の足の公式を用いると である。したがって
である。ここにとを代入すると となる。よっては原点を中心とする半径の円周上にある。同様にから下ろした垂線の足についても であり、も同じ円周上にある。
(3) 点はいずれも接線上にあり、かつ半径の円周上にある。したがっては、その円を直線で切った弦である。原点からこの直線までの距離がなので、弦の長さは である。三角形の底辺をと見れば、高さはである。よって である。
接線条件より、原点から接線までの距離 は の範囲を動く。実際、接線が漸近線に近づくとは0に近づき、を大きくするとはに近づく。
また である。とおくと であり、においてこれはで最大となる。したがっての最大値は である。