問題
個の袋があり，それぞれの袋には金色のカード3枚と銀色のカード枚入っている．それぞれの袋から1枚ずつカードを抜き出すとき，確率変数を抜き出された金色のカードの枚数とおく．
(1) が値3をとる確率，および値2をとる確率を求めよ．
(2) 金色のカードを1枚抜き出すごとに賞金100円を受け取る．のときに受ける賞金の期待値を求めよ．
(3) 一般の について，が値3をとる確率を求めよ．
(4) を求めよ．
出典：九州大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問(c)
方針
各袋には合計枚あり、そのうち金色は3枚なので、1つの袋から金色を引く確率はである。袋ごとの試行は独立だから、は成功確率、試行回数の二項分布である。(1),(3)は二項分布の確率をそのまま使う。(2)は金色カードの枚数の期待値を使う。最後の極限はに直す。
解答
1つの袋には金色のカード3枚、銀色のカード枚、合計枚が入っている。したがって、1つの袋から金色を引く確率は である。各袋からの取り出しは独立である。
(1) のとき、金色を引く確率は、銀色を引く確率はである。よって
である。また
である。
(2) は、4回の独立な試行で成功確率の成功回数であるから である。金色のカード1枚につき100円を受け取るので、賞金の期待値は である。
(3) 一般のについて、となる確率は
である。整理すると
である。
(4) (3)の式を と書く。ここで であるから である。