問題
四面体において，点を
である点とする．また，3点，，を，
である点とする．
(1) 点が四面体の内部にあるとき，の満たすべき条件を求めよ．ただし，四面体の内部とは，四面体からその表面を除いた部分をさす．
(2) 四面体と四面体の体積をそれぞれ，とするとき，を，，を用いて表せ．
(3) 4点，，，が同一平面上にあるとき，を，，を用いて表せ．
(4) であって，4点，，，が同一平面上にあるとき，の最小値を求めよ．
出典：九州大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問(a)
方針
を基底として係数を読む。四面体内部の条件は、に関する係数がすべて正であること。(2)は3方向の拡大率から体積比がになる。(3)では平面上の点を係数和1で表し、の係数と比較してを得る。(4)は, を代入してに直し、の最小から体積比を決める。
解答
, , とおく。
(1) 点は である。四面体の内部にある点は と表したとき を満たす。ここではなので である。したがって である。
(2) 点はそれぞれ方向に倍した位置にある。したがって四面体の体積は四面体の体積の倍であり である。
(3) 平面上の点は、を満たす実数を用いて と表される。これがに等しいとすると である。よって となる。したがって である。
(4) より である。(3)に代入して を得る。分母を払って整理すると である。 とおくとである。一方 だから である。より である。等号はのときで、条件と合わせるとで実現する。
このとき体積比は なので、最小値は である。
別解。(3)の平面は、の係数を座標のように見れば と書ける。点はなので、すぐにが得られる。