九州大学 1997年度理系数学第1問解答・解説

問題

座標平面上を運動する点 $P$ の時刻 $t$ における座標 $(x, y)$ が $x = r (t) cos t$ ， $y = r (t) sin t$ で与えられている．ただし， $r (t) = 1 + cos t$ であるとする．

(1) $0 ≦ t ≦ 2 π$ の範囲で，点 $P$ の速さ（速度の大きさ）が1となる時刻を求めよ．

(2) $0 ≦ t ≦ 2 π$ の間に，点 $P$ が動いた道のりを求めよ．

(3) 点 $P$ が $0 ≦ t ≦ \frac{π}{2}$ の範囲で描く曲線と $x$ 軸， $y$ 軸とで囲まれる図形の面積を求めよ．

出典：九州大学 1997年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

極座標表示 $(x, y) = (r cos t, r sin t)$ として扱う。速度の大きさは $r^{2} + (d r / d t)^{2}$ で求められるので、 $r = 1 + cos t$ を代入する。(2)の道のりはその速さを $[0, 2 π]$ で積分するが、 $cos (t /2)$ の符号が途中で変わるため絶対値に注意する。(3)は $0 ≦ t ≦ π /2$ で第1象限の極座標面積公式 $\frac{1}{2} \int r^{2} d t$ を使う。

解答

(1) $r (t) = 1 + cos t, r^{'} (t) = - sin t$ である。極座標表示 $x = r cos t$ , $y = r sin t$ では、速さの2乗は $(\frac{d x}{d t})^{2} + (\frac{d y}{d t})^{2} = r^{2} + (r^{'})^{2}$ である。したがって $r^{2} + (r^{'})^{2} = (1 + cos t)^{2} + sin^{2} t = 2 + 2 cos t$ である。速さが1となる条件は $2 + 2 cos t = 1$ すなわち $cos t = - \frac{1}{2}$ である。 $0 ≦ t ≦ 2 π$ より $t = \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}$ である。

(2) 道のりは $\int_{0}^{2 π} 2 + 2 cos t d t$ である。半角公式より $2 + 2 cos t = 4 cos^{2} \frac{t}{2}$ なので $2 + 2 cos t = 2 cos \frac{t}{2}$ である。 $0 ≦ t ≦ 2 π$ では $0 ≦ t /2 ≦ π$ だから $\int_{0}^{2 π} 2 cos \frac{t}{2} d t = 4 \int_{0}^{π} ∣ cos u ∣ d u = 8$ である。

(3) $0 ≦ t ≦ π /2$ では、求める図形の面積は極座標の面積公式により $S = \frac{1}{2} \int_{0}^{π /2} (1 + cos t)^{2} d t$ である。展開すると $(1 + cos t)^{2} = 1 + 2 cos t + cos^{2} t$ であり $\int_{0}^{π /2} cos^{2} t d t = \frac{π}{4}$ だから

S = \frac{1}{2} (\frac{π}{2} + 2 + \frac{π}{4}) = 1 + \frac{3 π}{8}

である。

九州大学 1997年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

九州大学 1997年度
理系数学第1問