熊本大学 2023年度文理共通数学第4問（医学部医学科）解答・解説

問題

平面上の $2$ つの円が直交するとは, $2$ つの円が $2$ 点で交わり,各交点において $2$ つの円の接線が互いに直交することである．以下の問いに答えよ．(問1)　 $C_{1},$ $C_{2}$ は半径がそれぞれ $r_{1},$ $r_{2}$ の円とする． $C_{1}$ の中心と $C_{2}$ の中心の間の距離を $d$ とする． $C_{1}$ と $C_{2}$ が直交するための必要十分条件を $d,$ $r_{1},$ $r_{2}$ の関係式で表せ．(問2)　 $p,$ $r_{1},$ $r_{2}$ は $p > r_{1} + r_{2},$ $r_{1} > 0,$ $r_{2} > 0$ を満たす実数とする．座標平面上において,原点 $O$ を中心とする半径 $r_{1}$ の円を $C_{1},$ 点 $(p, 0)$ を中心とする半径 $r_{2}$ の円を $C_{2}$ とする． $C_{1}$ と $C_{2}$ のいずれにも直交する円の中心の軌跡を求めよ．(問3)　互いに外部にある $3$ つの円の中心が一直線上にないとき,それら $3$ つの円のいずれにも直交する円がただ $1$ つ存在することを示せ．

出典：熊本大学 2023年度前期文理共通第4問

方針

解法1

直交する2円では交点に引いた半径がそれぞれ接線に垂直であるため，中心と交点でできる三角形に三平方の定理を使う。(問2)は未知の中心と半径をおいて2つの直交条件を引き算し，中心の $x$ 座標を決める。(問3)は3円に対する同じ条件の差を2本の一次方程式として解き，半径が正になることを2円の外部条件から確認する。

解法2（座標を正規化して一意性を示す）

3円の中心のうち2点を $x$ 軸上に置き、未知円の中心・半径に対する直交条件を座標で引き算する。最初の2円から $x$ 座標、第3円から $y$ 座標が一意に決まることと、外部条件から半径が正になることを同時に確認する。

解答

解法1

(問1)

交点の一つを $X$ ， $C_{1}, C_{2}$ の中心をそれぞれ $O_{1}, O_{2}$ とする。交点における接線が直交することは，半径 $O_{1} X$ と $O_{2} X$ が直交することと同値である。したがって直角三角形 $O_{1} X O_{2}$ に三平方の定理を用いて

d^{2} = r_{1}^{2} + r_{2}^{2}

が必要十分条件である。

(問2)

求める円の中心を $(x, y)$ ，半径を $r$ とする。 $C_{1}$ と直交する条件は

x^{2} + y^{2} = r^{2} + r_{1}^{2}

であり， $C_{2}$ と直交する条件は

(x - p)^{2} + y^{2} = r^{2} + r_{2}^{2}

である。両式を引くと

- 2 p x + p^{2} = r_{2}^{2} - r_{1}^{2}

であるから

x = \frac{p ^{2} + r _{1}^{2} - r _{2}^{2}}{2 p}

である。逆にこの直線上の任意の点を中心にとれば， $r^{2} = x^{2} + y^{2} - r_{1}^{2}$ として半径を定められる。実際， $p > r_{1} + r_{2}$ より

\frac{p ^{2} + r _{1}^{2} - r _{2}^{2}}{2 p} > r_{1}

であるから $r^{2} > 0$ である。したがって中心の軌跡は直線

x = \frac{p ^{2} + r _{1}^{2} - r _{2}^{2}}{2 p}

である。

(問3)

3つの円の中心を $O_{j} = (x_{j}, y_{j})$ ，半径を $r_{j}$ $(j = 1, 2, 3)$ とする。求める円の中心を $X = (x, y)$ ，半径を $r$ とすれば，直交条件は

∣ X - O_{j} ∣^{2} = r^{2} + r_{j}^{2} (j = 1, 2, 3)

である。 $j = 2, 3$ の式から $j = 1$ の式を引くと， $x, y$ についての2本の一次方程式が得られる。3つの中心は一直線上にないので，この2本の直線は平行でなく，交点 $X$ はただ1つに定まる。

あとは半径が正であることを確かめる。円 $1$ と円 $2$ は外部にあるので，中心間距離を $d$ とすれば $d > r_{1} + r_{2}$ である。円 $1$ と円 $2$ に対する等べき線上の点は，中心線上の足が円 $1$ の中心から

\frac{d ^{2} + r _{1}^{2} - r _{2}^{2}}{2 d}

だけ離れた位置にある。この値は $r_{1}$ より大きい。したがって，その等べき線上にある点 $X$ は円 $1$ の外部にあり，

r^{2} = ∣ X - O_{1} ∣^{2} - r_{1}^{2} > 0

である。よってこの $X$ を中心とし半径 $r$ の円が3つの円すべてに直交する。中心も半径も一意に定まるから，そのような円はただ1つ存在する。

解法2（座標を正規化して一意性を示す）

(問1)

交点 $T$ で2円の半径はそれぞれ相手の接線と平行になる。よって接線が直交することと $∠ O_{1} T O_{2} = 9 0^{\circ}$ は同値であり、

d^{2} = r_{1}^{2} + r_{2}^{2}

が必要十分条件である。

(問2)

未知円の中心を $(x, y)$ 、半径を $ρ$ とすると

x^{2} + y^{2} = ρ^{2} + r_{1}^{2}, (x - p)^{2} + y^{2} = ρ^{2} + r_{2}^{2} .

差をとって

x = \frac{p ^{2} + r _{1}^{2} - r _{2}^{2}}{2 p}

を得る。さらに $p > r_{1} + r_{2}$ よりこの値は $r_{1}$ より大きいので、任意の $y$ に対して $ρ^{2} = x^{2} + y^{2} - r_{1}^{2} > 0$ である。したがって軌跡は上の直線全体である。

(問3)

座標を回転・平行移動して、3円の中心を

O_{1} = (0, 0), O_{2} = (d, 0), O_{3} = (u, v) (v \neq = 0)

とする。半径をそれぞれ $r_{1}, r_{2}, r_{3}$ 、未知円の中心を $(x, y)$ 、半径を $ρ$ とする。直交条件は

⎩ ⎨ ⎧ x^{2} + y^{2} = ρ^{2} + r_{1}^{2}, (x - d)^{2} + y^{2} = ρ^{2} + r_{2}^{2}, (x - u)^{2} + (y - v)^{2} = ρ^{2} + r_{3}^{2} .

第2式と第1式の差から

x = \frac{d ^{2} + r _{1}^{2} - r _{2}^{2}}{2 d}

が一意に定まり、第3式と第1式の差は $v \neq = 0$ なので $y$ を一意に定める。さらに $d > r_{1} + r_{2}$ より $x > r_{1}$ であり、

ρ^{2} = x^{2} + y^{2} - r_{1}^{2} > 0.

よって実在する円の中心と半径がともに一意に定まり、そのような円はただ1つ存在する。

熊本大学 2023年度文理共通数学 第4問（医学部医学科）

問題

方針

解法1

解法2（座標を正規化して一意性を示す）

解答

解法1

(問1)

(問2)

(問3)

解法2（座標を正規化して一意性を示す）

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2023年度
文理共通数学第4問（医学部医学科）