熊本大学 2023年度文理共通数学第3問（文系学部）解答・解説

問題

原点を $O$ とする座標平面上に $3$ 点 $A,$ $B,$ $C$ がある． $O A = u,$ $A B = v,$ $B C = w$ とおく． $e_{1} = (1, 0),$ $e_{2} = (0, 1)$ とするとき, $3$ つのベクトル $u,$ $v,$ $w$ は

u v \cdot e_{1} w \cdot e_{1} = - e_{1}, = 4, v = 25, v \cdot e_{2} < 0, = 8, w = 82, w \cdot e_{2} > 0

を満たすとする．ただし, $x$ はベクトル $x$ の大きさを表し, $x \cdot y$ は $2$ つのベクトル $x$ と $y$ の内積を表す．以下の問いに答えよ．(問1)　 $3$ 点 $A,$ $B,$ $C$ の座標をそれぞれ求めよ．(問2)　 $3$ 点 $A,$ $B,$ $C$ を通る円の方程式を求めよ．(問3)　 $3$ 点 $A,$ $B,$ $C$ を通る円の中心を $P$ とするとき, $△ A B P$ の面積を求めよ．

出典：熊本大学 2023年度前期文理共通第3問

方針

解法1

与えられた内積と大きさから $u, v, w$ の成分を求める。円は3点代入で決め，最後は円の中心 $P$ を使って $△ A B P$ の面積を座標で計算する。

解法2（垂直二等分線と点・直線間距離）

成分条件から3点を求め、円の中心を2本の垂直二等分線の交点として構成する。最後の面積は $A B$ を底辺とし、中心から直線 $A B$ までの距離を使って求める。

解答

解法1

(問1)

$u = - e_{1} = (- 1, 0)$ より

A = (- 1, 0)

である。 $v = (4, y)$ とおくと， $∣ v ∣ = 25$ ， $v \cdot e_{2} < 0$ より $y = - 2$ である。したがって

B = A + v = (3, - 2)

である。 $w = (8, z)$ とおくと， $∣ w ∣ = 82$ ， $w \cdot e_{2} > 0$ より $z = 8$ である。よって

C = B + w = (11, 6)

である。

(問2)

円を

x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0

とおく。 $A, B, C$ を代入して解くと

D = - 8, E = - 10, F = - 9

である。したがって求める円は

x^{2} + y^{2} - 8 x - 10 y - 9 = 0

である。

(問3)

円の中心は

P = (4, 5)

である。 $A B = (4, - 2)$ ， $A P = (5, 5)$ であるから

[△ A B P] = \frac{1}{2} ∣4 \cdot 5 - (- 2) \cdot 5∣ = 15

である。

解法2（垂直二等分線と点・直線間距離）

(問1)

条件と符号から

u = (- 1, 0), v = (4, - 2), w = (8, 8)

である。したがって

A = (- 1, 0), B = (3, - 2), C = (11, 6)

である。

(問2)

$A B$ の垂直二等分線は $y = 2 x - 3$ 、 $A C$ の垂直二等分線は $y = - 2 x + 13$ である。その交点は

P = (4, 5)

で、 $P A^{2} = 50$ だから円の方程式は

(x - 4)^{2} + (y - 5)^{2} = 50,

すなわち

x^{2} + y^{2} - 8 x - 10 y - 9 = 0

である。

(問3)

直線 $A B$ は $x + 2 y + 1 = 0$ であり

A B = 25, dist (P, A B) = \frac{∣4 + 2 \cdot 5 + 1∣}{5} = 35 .

したがって

[△ A B P] = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 35 = 15

である。

熊本大学 2023年度文理共通数学 第3問（文系学部）

問題

方針

解法1

解法2（垂直二等分線と点・直線間距離）

解答

解法1

(問1)

(問2)

(問3)

解法2（垂直二等分線と点・直線間距離）

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2023年度
文理共通数学第3問（文系学部）