熊本大学 2023年度文理共通数学第1問（理工系）解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ を $a_{1} = \frac{1}{8},$ $(4 n^{2} - 1) (a_{n} - a_{n + 1}) = 8 (n^{2} - 1) a_{n} a_{n + 1}$ $（ n = 1, 2, 3, \dots ）$ により定める．以下の問いに答えよ．(問1)　 $a_{2},$ $a_{3}$ を求めよ．(問2)　 $a_{n} \neq = 0$ を示せ．(問3)　 $\frac{1}{a _{n + 1}} - \frac{1}{a _{n}}$ を $n$ の式で表せ．(問4)　数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ．

出典：熊本大学 2023年度前期文理共通第1問

方針

まず漸化式を用いて初期値を計算する。正であることを帰納法で示してから両辺を割り，逆数の階差に直す。得られた階差を部分分数分解して和をとり，一般項を求める。

解答

(問1)

まず， $n = 1$ を代入すると

3 (a_{1} - a_{2}) = 0

であるから， $a_{2} = a_{1} = \frac{1}{8}$ である。次に， $n = 2$ を代入すると

15 (\frac{1}{8} - a_{3}) = 24 \cdot \frac{1}{8} a_{3} = 3 a_{3}

である。したがって

a_{3} = \frac{5}{48}

である。

(問2)

$a_{1} = \frac{1}{8} > 0$ である。 $a_{n} > 0$ と仮定すると，与えられた漸化式は

{4 n^{2} - 1 + 8 (n^{2} - 1) a_{n}} a_{n + 1} = (4 n^{2} - 1) a_{n}

と書ける。左辺の係数は正で，右辺も正であるから $a_{n + 1} > 0$ である。よって帰納法により，すべての $n$ で $a_{n} > 0$ であり，特に $a_{n} \neq = 0$ である。

(問3)

(問2)より $a_{n} a_{n + 1} \neq = 0$ であるから，与式を $a_{n} a_{n + 1}$ で割ると

(4 n^{2} - 1) (\frac{1}{a _{n + 1}} - \frac{1}{a _{n}}) = 8 (n^{2} - 1)

となる。したがって

\frac{1}{a _{n + 1}} - \frac{1}{a _{n}} = \frac{8 ( n ^{2} - 1 )}{4 n ^{2} - 1}

である。

(問4)

\frac{8 ( n ^{2} - 1 )}{4 n ^{2} - 1} = 2 - \frac{3}{2 n - 1} + \frac{3}{2 n + 1}

である。よって $n ≧ 2$ のとき

\frac{1}{a _{n}} = 8 + k = 1 \sum n - 1 (2 - \frac{3}{2 k - 1} + \frac{3}{2 k + 1}) = 8 + 2 (n - 1) - 3 + \frac{3}{2 n - 1} = 2 n + 3 + \frac{3}{2 n - 1} = \frac{4 n ( n + 1 )}{2 n - 1} .

これは $n = 1$ でも成り立つ。したがって

a_{n} = \frac{2 n - 1}{4 n ( n + 1 )}

である。

熊本大学 2023年度文理共通数学 第1問（理工系）

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

(問3)

(問4)

熊本大学 2023年度
文理共通数学第1問（理工系）