熊本大学 2023年度文理共通数学第1問（理工系2）解答・解説

問題

$n$ を $3$ 以上の自然数とする． $1$ 個のさいころを $n$ 回投げて,出た目の数の積をとる．積が $60$ となる確率を $p_{n}$ とする．以下の問いに答えよ．(問1)　 $p_{3}$ を求めよ．(問2)　 $n ≧ 4$ のとき, $p_{n}$ を求めよ．(問3)　 $n ≧ 4$ とする．出た目の数の積が $n$ 回目にはじめて $60$ となる確率を求めよ．

出典：熊本大学 2023年度前期文理共通第1問

方針

$60 = 5 \cdot 12$ であり，さいころで $5$ の因数をもつ目は $5$ だけである。したがって $5$ がちょうど一度出て，残りの目の積が $12$ になる場合を数える。はじめて条件は，全体から直前にすでに $60$ になって最後に $1$ が出る場合を除く。

解答

(問1)

積が $60$ となるには， $5$ がちょうど $1$ 回出て，残り $2$ 回の積が $12$ になればよい。残り $2$ 回は

(2, 6), (6, 2), (3, 4), (4, 3)

の $4$ 通りであり， $5$ の位置は $3$ 通りである。したがって

p_{3} = \frac{12}{6 ^{3}} = \frac{1}{18}

である。

(問2)

$n ≧ 4$ とする。 $5$ の出る位置を $n$ 通りに選び，残り $n - 1$ 回の積が $12$ となる出方を数える。長さ $m$ の出方で積が $12$ となるものは

4_{m} C_{2} + 3_{m} C_{3} = \frac{m ( m - 1 ) ( m + 2 )}{2}

通りである。ここで $m = n - 1$ とすれば，積が $60$ となる出方は

n \cdot \frac{( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n + 1 )}{2}

通りである。よって

p_{n} = \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n + 1 )}{2 \cdot 6 ^{n}}

である。

(問3)

(問2)の出方の数を

B_{n} = \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n + 1 )}{2}

とおく。 $n$ 回目にはじめて積が $60$ となる出方は，積が $60$ となる長さ $n$ の出方から， $n - 1$ 回目までに積が $60$ で最後に $1$ が出るものを除いたものである。よってその数は

B_{n} - B_{n - 1} = 2 n (n - 1) (n - 2)

である。したがって求める確率は

\frac{2 n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{6 ^{n}}

である。

熊本大学 2023年度文理共通数学 第1問（理工系2）

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2023年度
文理共通数学第1問（理工系2）