熊本大学 2023年度文理共通数学第3問（理工系）解答・解説

問題

$α,$ $β$ を複素数とし,複素数平面上の $3$ 点 $O (0),$ $A (α),$ $B (β)$ が三角形をなすとする．点 $A$ を点 $O$ を中心として $\frac{π}{3}$ だけ回転した点を $P,$ 点 $O$ を点 $B$ を中心として $\frac{π}{3}$ だけ回転した点を $Q,$ 点 $B$ を点 $A$ を中心として $\frac{π}{3}$ だけ回転した点を $R$ とする． $△ P O A,$ $△ QB O,$ $△ R A B$ の重心をそれぞれ $G,$ $H,$ $I$ とする．以下の問いに答えよ．(問1)　 $3$ 点 $P,$ $Q,$ $R$ を表す複素数のそれぞれを $α,$ $β$ を用いて表せ．(問2)　 $3$ 点 $G,$ $H,$ $I$ を表す複素数のそれぞれを $α,$ $β$ を用いて表せ．(問3)　 $3$ 点 $G,$ $H,$ $I$ が三角形をなすとき, $△ G H I$ が正三角形かどうか判定せよ．

出典：熊本大学 2023年度前期文理共通第3問

方針

解法1

$ω = cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3}$ とおき，原点中心の回転は $ω$ 倍，点 $c$ 中心の回転は $c + ω (z - c)$ と表す。各重心を複素数で表した後，差 $i - g$ と $h - g$ を比較し， $6 0^{\circ}$ 回転の関係を示す。

解法2（回転作用素を用いるベクトル解法）

$6 0^{\circ}$ 回転を表す線形写像 $T$ を用い、 $T^{2} - T + E = 0$ を利用する。各点と重心を位置ベクトルで表し、 $G I = T (G H)$ を直接示す。

解答

解法1

(問1)

ω = cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i

とおく。このとき $ω^{2} = ω - 1$ である。点 $A$ を原点中心に回転した点は

P : ω α

である。点 $O$ を点 $B$ 中心に回転した点は

Q : β + ω (0 - β) = (1 - ω) β

である。点 $B$ を点 $A$ 中心に回転した点は

R : α + ω (β - α) = (1 - ω) α + ω β

である。

(問2)

重心を表す複素数をそれぞれ $g, h, i$ とすると，

g h i = \frac{ω α + 0 + α}{3} = \frac{1 + ω}{3} α, = \frac{( 1 - ω ) β + β + 0}{3} = \frac{2 - ω}{3} β, = \frac{( 1 - ω ) α + ω β + α + β}{3} = \frac{( 2 - ω ) α + ( 1 + ω ) β}{3} .

(問3)

上の表示から

h - g = \frac{- ( 1 + ω ) α + ( 2 - ω ) β}{3}

である。したがって

ω (h - g) = \frac{- ω ( 1 + ω ) α + ω ( 2 - ω ) β}{3} = \frac{( 1 - 2 ω ) α + ( 1 + ω ) β}{3} = i - g .

よって，点 $I$ は点 $H$ を点 $G$ のまわりに $\frac{π}{3}$ だけ回転した点である。 $G, H, I$ が三角形をなすとき $H \neq = G$ であるから， $G H = G I$ かつ $∠ H G I = \frac{π}{3}$ である。したがって $△ G H I$ は正三角形である。

解法2（回転作用素を用いるベクトル解法）

$6 0^{\circ}$ の反時計回り回転を $T$ 、恒等写像を $E$ とする。このとき

T^{2} - T + E = 0

である。

(問1)

点をその位置ベクトルでも表すことにすると

P = T α, Q = (E - T) β, R = (E - T) α + T β

である。複素数表示では $T z = ω z$ 、 $ω = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ だから

P = ω α, Q = (1 - ω) β, R = (1 - ω) α + ω β

となる。

(問2)

重心の公式から

G = \frac{E + T}{3} α, H = \frac{2 E - T}{3} β, I = \frac{2 E - T}{3} α + \frac{E + T}{3} β

である。

(問3)

上式と $T^{2} = T - E$ を用いると

T (H - G) = \frac{- T ( E + T ) α + T ( 2 E - T ) β}{3} = \frac{( E - 2 T ) α + ( E + T ) β}{3} = I - G .

したがって $G I$ は $G H$ を $6 0^{\circ}$ 回転したベクトルである。3点が三角形をなすとき両ベクトルは零でないので

G I = G H, ∠ H G I = 6 0^{\circ} .

よって $△ G H I$ は正三角形である。

熊本大学 2023年度文理共通数学 第3問（理工系）

問題

方針

解法1

解法2（回転作用素を用いるベクトル解法）

解答

解法1

(問1)

(問2)

(問3)

解法2（回転作用素を用いるベクトル解法）

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2023年度
文理共通数学第3問（理工系）