熊本大学 2023年度文理共通数学第4問（文系学部）解答・解説

問題

$k$ は正の実数とし, $2$ つの関数 $f (x) = \frac{2}{3} x^{3} + x^{2} - 4 x + \frac{7}{3},$ $g (x) = x^{2} + 4 x + 4 + k$ を考える． $x y$ 平面上の曲線 $y = f (x)$ を $C_{1}$ とし,放物線 $y = g (x)$ を $C_{2}$ とする．以下の問いに答えよ．(問1)　関数 $f (x) - g (x)$ の極値を $k$ を用いて表せ．(問2)　 $C_{1}$ と $C_{2}$ がちょうど $2$ 個の共有点をもつような $k$ の値を求めよ．(問3)　 $k$ を(問2)で求めた値とする． $C_{1}$ と $C_{2}$ の $2$ 個の共有点を通る直線を $l$ とするとき, $C_{2}$ と $l$ で囲まれた図形と $x ≧ 0$ の表す領域の共通部分の面積を求めよ．

出典：熊本大学 2023年度前期文理共通第4問

方針

解法1

共有点は $h (x) = f (x) - g (x)$ の零点として調べる。 $h$ の極大値が $0$ になるときだけ重解をもち，正の $k$ で共有点が2個になる。求めた $k$ で交点を出し，2点を結ぶ直線と放物線に囲まれる部分のうち $x ≧ 0$ の面積を積分する。

解法2（重解条件と平行移動）

共有点が2個である条件を、差の3次多項式が重解をもつ条件として処理する。候補の重解は導関数の零点だけなので $k$ を即決し、面積は $X = x + 2$ で放物線を標準位置へ移して計算する。

解答

解法1

(問1)

f (x) - g (x) = \frac{2}{3} x^{3} - 8 x - \frac{5}{3} - k

である。微分すると

(f - g)^{'} (x) = 2 x^{2} - 8 = 2 (x - 2) (x + 2)

である。したがって $x = - 2$ で極大， $x = 2$ で極小となり，極大値は

9 - k

極小値は

- \frac{37}{3} - k

である。

(問2)

$k > 0$ であるから，極小値は常に負である。3次方程式 $f (x) - g (x) = 0$ がちょうど2個の異なる実数解をもつには，極大値が $0$ となればよい。よって

9 - k = 0

より

k = 9

である。

(問3)

$k = 9$ のとき

f (x) - g (x) = \frac{2}{3} (x + 2)^{2} (x - 4)

であるから，共有点の $x$ 座標は $- 2, 4$ である。 $C_{2}$ は

y = x^{2} + 4 x + 13

であり，共有点は $(- 2, 9)$ ， $(4, 45)$ である。この2点を通る直線 $l$ は

y = 6 x + 21

である。 $- 2 ≦ x ≦ 4$ では直線が放物線の上側にあるので， $x ≧ 0$ の部分の面積は

\int_{0}^{4} {(6 x + 21) - (x^{2} + 4 x + 13)} d x = \int_{0}^{4} (- x^{2} + 2 x + 8) d x = \frac{80}{3} .

したがって求める面積は $\frac{80}{3}$ である。

解法2（重解条件と平行移動）

(問1)

差を $h (x) = f (x) - g (x)$ とおくと

h (x) = \frac{2}{3} x^{3} - 8 x - \frac{5}{3} - k, h^{'} (x) = 2 (x - 2) (x + 2) .

したがって $x = - 2$ で極大値 $9 - k$ 、 $x = 2$ で極小値 $- 37/3 - k$ をとる。

(問2)

共有点がちょうど2個であるには、3次方程式 $h (x) = 0$ が重解をもてばよい。重解の候補は $h^{'} (x) = 0$ より $x = \pm 2$ だけである。

h (- 2) = 9 - k, h (2) = - \frac{37}{3} - k .

$k > 0$ の範囲で零になりうるのは前者だけだから

k = 9

である。このとき

h (x) = \frac{2}{3} (x + 2)^{2} (x - 4)

で、異なる共有点は確かに2個である。

(問3)

$X = x + 2$ と平行移動すると、放物線 $C_{2}$ は

y = X^{2} + 9

となる。交点の $X$ 座標は $0, 6$ であり、その2点を結ぶ直線は

y = 6 X + 9.

$x ≧ 0$ は $X ≧ 2$ に対応するので、求める面積は

\int_{2}^{6} {(6 X + 9) - (X^{2} + 9)} d X = \int_{2}^{6} X (6 - X) d X = \frac{80}{3} .

熊本大学 2023年度文理共通数学 第4問（文系学部）

問題

方針

解法1

解法2（重解条件と平行移動）

解答

解法1

(問1)

(問2)

(問3)

解法2（重解条件と平行移動）

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2023年度
文理共通数学第4問（文系学部）