熊本大学 2023年度文理共通数学第4問（理工系）解答・解説

問題

$t$ は正の実数とする．以下の問いに答えよ．(問1)　関数 $f (x) = 2 t x^{2} e^{- t x^{2}}$ の極値を求めよ．(問2)　定積分 $\int_{1}^{t} 4 t x (1 - t x^{2}) e^{- t x^{2}} lo g x d x$ の値を $t$ を用いて表せ．(問3)　(問2)で求めた値を $g (t)$ とおく． $1 < t < 4$ のとき,不等式 $g (t) > (t^{\frac{5}{2}} - t^{2} + 1) e^{- t^{2}} - e^{- t}$ が成り立つことを示せ．

出典：熊本大学 2023年度前期文理共通第4問

方針

解法1

(問1)は微分して臨界点を調べる。(問2)では被積分関数が $f^{'} (x) lo g x$ であることを見抜き，部分積分を行う。(問3)は得られた式から共通項を消し， $u = t$ とおいて $lo g t > t - 1$ を微分で示す。

解法2（置換積分と一変数不等式）

$u = t x^{2}$ で指数関数の中身を新変数にし、 $(u e^{- u})^{'} = (1 - u) e^{- u}$ を使って積分する。不等式は $H (t) = lo g t - t + 1$ の単調性を区間 $(1, 4)$ で直接調べる。

解答

解法1

(問1)

f^{'} (x) = 4 t x (1 - t x^{2}) e^{- t x^{2}}

である。したがって臨界点は $x = 0, \pm \frac{1}{t}$ である。 $e^{- t x^{2}} > 0$ より符号を調べると， $x = 0$ で極小値 $0$ ， $x = \pm \frac{1}{t}$ で極大値

2 t \cdot \frac{1}{t} e^{- 1} = \frac{2}{e}

をとる。

(問2)

$F (x) = 2 t x^{2} e^{- t x^{2}}$ とおくと

F^{'} (x) = 4 t x (1 - t x^{2}) e^{- t x^{2}}

である。部分積分により

\int_{1}^{t} 4 t x (1 - t x^{2}) e^{- t x^{2}} lo g x d x = [2 t x^{2} e^{- t x^{2}} lo g x]_{1}^{t} - \int_{1}^{t} 2 t x e^{- t x^{2}} d x = t^{2} lo g t e^{- t^{2}} - [- e^{- t x^{2}}]_{1}^{t} = (t^{2} lo g t + 1) e^{- t^{2}} - e^{- t} .

したがって

g (t) = (t^{2} lo g t + 1) e^{- t^{2}} - e^{- t}

である。

(問3)

示すべき不等式は

t^{2} lo g t + 1 > t^{\frac{5}{2}} - t^{2} + 1

と同値である。 $u = t$ とおくと $1 < u < 2$ であり，

ϕ (u) = 2 lo g u - u + 1

とおけば

ϕ^{'} (u) = \frac{2}{u} - 1 > 0 (1 < u < 2)

である。また $ϕ (1) = 0$ であるから， $1 < u < 2$ で $ϕ (u) > 0$ である。すなわち

lo g t = 2 lo g u > u - 1 = t - 1

である。両辺に正の $t^{2}$ を掛けると

t^{2} lo g t > t^{\frac{5}{2}} - t^{2}

となる。よって

g (t) > (t^{\frac{5}{2}} - t^{2} + 1) e^{- t^{2}} - e^{- t}

が成り立つ。

解法2（置換積分と一変数不等式）

(問1)

$u = t x^{2} ≧ 0$ とおけば $f (x) = 2 u e^{- u}$ である。

\frac{d}{d u} (2 u e^{- u}) = 2 (1 - u) e^{- u}

より、 $u = 0$ で極小値 $0$ 、 $u = 1$ 、すなわち $x = \pm 1/ t$ で極大値 $2/ e$ をとる。

(問2)

$u = t x^{2}$ とおくと、積分区間は $t ≦ u ≦ t^{2}$ となり

lo g x = \frac{1}{2} (lo g u - lo g t), d u = 2 t x d x

である。したがって求める積分は

\int_{t}^{t^{2}} (1 - u) e^{- u} (lo g u - lo g t) d u

となる。 $(u e^{- u})^{'} = (1 - u) e^{- u}$ を用いて部分積分すると

g (t) = [u e^{- u} (lo g u - lo g t)]_{t}^{t^{2}} - \int_{t}^{t^{2}} e^{- u} d u = (t^{2} lo g t + 1) e^{- t^{2}} - e^{- t} .

(問3)

$H (t) = lo g t - t + 1$ とおくと

H^{'} (t) = \frac{1}{t} - \frac{1}{2 t} = \frac{2 - t}{2 t} > 0 (1 < t < 4) .

$H (1) = 0$ だから $lo g t > t - 1$ である。これに正の $t^{2} e^{- t^{2}}$ を掛けて整理すれば

g (t) > (t^{5/2} - t^{2} + 1) e^{- t^{2}} - e^{- t}

を得る。

熊本大学 2023年度文理共通数学 第4問（理工系）

問題

方針

解法1

解法2（置換積分と一変数不等式）

解答

解法1

(問1)

(問2)

(問3)

解法2（置換積分と一変数不等式）

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2023年度
文理共通数学第4問（理工系）