熊本大学 2023年度文理共通数学第2問解答・解説

問題

原点を $O$ とする座標平面上に $3$ 点 $A,$ $B,$ $C$ がある． $O A = u,$ $A B = v,$ $B C = w$ とおく． $e_{1} = (1, 0),$ $e_{2} = (0, 1)$ とするとき, $3$ つのベクトル $u,$ $v,$ $w$ は

u v \cdot e_{1} w \cdot e_{1} = - e_{1}, = 4, v = 25, v \cdot e_{2} < 0, = 8, w = 82, w \cdot e_{2} > 0

を満たすとする．ただし, $x$ はベクトル $x$ の大きさを表し, $x \cdot y$ は $2$ つのベクトル $x$ と $y$ の内積を表す．以下の問いに答えよ．(問1)　 $3$ 点 $A,$ $B,$ $C$ の座標をそれぞれ求めよ．(問2)　 $3$ 点 $A,$ $B,$ $C$ を通る円の方程式を求めよ．(問3)　 $3$ 点 $A,$ $B,$ $C$ を通る円の中心を $P$ とするとき, $△ A B C$ の面積と $△ A B P$ の面積の比を求めよ．

出典：熊本大学 2023年度前期文理共通第2問

方針

解法1

条件から $u, v, w$ の成分を順に決定し，点 $A, B, C$ の座標を得る。円は一般形 $x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$ に3点を代入して求める。面積比は座標の行列式計算で求める。

解法2（垂直二等分線と高さの比）

座標を復元した後、円の中心を $A B, A C$ の垂直二等分線の交点として求める。面積比は底辺 $A B$ を共通にし、点 $C, P$ から直線 $A B$ までの距離の比に置き換える。

解答

解法1

(問1)

$u = - e_{1} = (- 1, 0)$ であるから

A = (- 1, 0)

である。 $v = (4, y)$ とおくと， $∣ v ∣ = 25$ ， $v \cdot e_{2} < 0$ より

16 + y^{2} = 20,

かつ $y < 0$ であるから $y = - 2$ である。よって $v = (4, - 2)$ であり

B = A + v = (3, - 2)

である。同様に $w = (8, z)$ とおくと， $∣ w ∣ = 82$ ， $w \cdot e_{2} > 0$ より

64 + z^{2} = 128,

かつ $z > 0$ であるから $z = 8$ である。したがって

C = B + w = (11, 6)

である。

(問2)

求める円を

x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0

とおく。 $A, B, C$ を代入すると

⎩ ⎨ ⎧ 1 - D + F = 0, 13 + 3 D - 2 E + F = 0, 157 + 11 D + 6 E + F = 0

である。これを解くと

D = - 8, E = - 10, F = - 9

である。したがって円の方程式は

x^{2} + y^{2} - 8 x - 10 y - 9 = 0

である。

(問3)

(問2)の円の中心は

P = (4, 5)

である。 $A B = (4, - 2)$ ， $A C = (12, 6)$ より

[△ A B C] = \frac{1}{2} ∣4 \cdot 6 - (- 2) \cdot 12∣ = 24

である。また $A P = (5, 5)$ より

[△ A B P] = \frac{1}{2} ∣4 \cdot 5 - (- 2) \cdot 5∣ = 15

である。したがって面積の比は

[△ A B C] : [△ A B P] = 24 : 15 = 8 : 5

である。

解法2（垂直二等分線と高さの比）

(問1)

条件から

u = (- 1, 0), v = (4, - 2), w = (8, 8)

である。したがって

A = (- 1, 0), B = (3, - 2), C = (11, 6)

を得る。

(問2)

線分 $A B$ の中点は $(1, - 1)$ 、傾きは $- 1/2$ なので、その垂直二等分線は

y = 2 x - 3

である。線分 $A C$ の中点は $(5, 3)$ 、傾きは $1/2$ なので、その垂直二等分線は

y = - 2 x + 13

である。両直線の交点は $P = (4, 5)$ であり、 $P A^{2} = 50$ だから円は

(x - 4)^{2} + (y - 5)^{2} = 50,

すなわち

x^{2} + y^{2} - 8 x - 10 y - 9 = 0

である。

(問3)

直線 $A B$ の方程式は

x + 2 y + 1 = 0

である。三角形 $A B C$ と $A B P$ は底辺 $A B$ を共有するので、面積比は $C, P$ から直線 $A B$ までの距離の比に等しい。よって

[△ A B C] : [△ A B P] = ∣11 + 2 \cdot 6 + 1∣ : ∣4 + 2 \cdot 5 + 1∣ = 24 : 15 = 8 : 5.

熊本大学 2023年度文理共通数学 第2問

問題

方針

解法1

解法2（垂直二等分線と高さの比）

解答

解法1

(問1)

(問2)

(問3)

解法2（垂直二等分線と高さの比）

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2023年度
文理共通数学第2問