熊本大学 2023年度文理共通数学数学① 第2問／数学② 第2問解答・解説

問題

$n$ を $2$ 以上の自然数とする． $1$ 個のさいころを $n$ 回投げて,出た目の数の積をとる．積が $12$ となる確率を $p_{n}$ とする．以下の問いに答えよ．(問1)　 $p_{2},$ $p_{3}$ を求めよ．(問2)　 $n ≧ 4$ のとき, $p_{n}$ を求めよ．(問3)　 $n ≧ 4$ とする．出た目の数の積が $n$ 回目にはじめて $12$ となる確率を求めよ．

出典：熊本大学 2023年度前期文理共通数学① 第2問／数学② 第2問

方針

解法1

積が $12 = 2^{2} \cdot 3$ になるには， $1, 2, 3, 4, 6$ だけが使われる。 $1$ 以外の目の個数で分類し，積が $12$ になる非 $1$ の組を数える。はじめて $12$ になる確率は，全体から直前までにすでに $12$ になって最後に $1$ が出た場合を除く。

解法2（母関数で出目を符号化）

出目の $2$ の指数を $X$ 、 $3$ の指数を $Y$ で記録する。 $(1 + X + Y + X^{2} + X Y)^{n}$ の $X^{2} Y$ の係数を求めると、積が $12$ となる順序付きの出方を一括して数えられる。初到達は最後の目ごとに直前の積を数える。

解答

解法1

(問1)

$2$ 回で積が $12$ となるのは

(2, 6), (6, 2), (3, 4), (4, 3)

の $4$ 通りである。したがって

p_{2} = \frac{4}{6 ^{2}} = \frac{1}{9}

である。

$3$ 回で積が $12$ となる場合を， $1$ 以外の目で分類する。 $1, 2, 6$ の並べ方が $6$ 通り， $1, 3, 4$ の並べ方が $6$ 通り， $2, 2, 3$ の並べ方が $3$ 通りである。よって

p_{3} = \frac{15}{6 ^{3}} = \frac{5}{72}

である。

(問2)

$n ≧ 4$ とする。 $1$ 以外の目が $2$ 個のときは，その位置の選び方が $_{n} C_{2}$ 通りで，各位置への入れ方は $(2, 6), (6, 2), (3, 4), (4, 3)$ の $4$ 通りである。

$1$ 以外の目が $3$ 個のときは，目は $2, 2, 3$ であり，位置の選び方が $_{n} C_{3}$ 通り，並べ方が $3$ 通りである。したがって積が $12$ となる出方は

4_{n} C_{2} + 3_{n} C_{3} = \frac{n ( n - 1 ) ( n + 2 )}{2}

通りである。よって

p_{n} = \frac{n ( n - 1 ) ( n + 2 )}{2 \cdot 6 ^{n}}

である。

(問3)

長さ $n$ の出方で積が $12$ となるもののうち， $n - 1$ 回目までにすでに積が $12$ で， $n$ 回目に $1$ が出たものを除けばよい。(問2)の数え上げを $A_{n} = \frac{n ( n - 1 ) ( n + 2 )}{2}$ とおくと，求める出方の数は

A_{n} - A_{n - 1} = \frac{( n - 1 ) ( 3 n + 2 )}{2}

である。したがって求める確率は

\frac{( n - 1 ) ( 3 n + 2 )}{2 \cdot 6 ^{n}}

である。

解法2（母関数で出目を符号化）

(問1)(問2)

出目 $1, 2, 3, 4, 6$ をそれぞれ $1, X, Y, X^{2}, X Y$ に対応させる。出目 $5$ は積が $12$ となる場合には現れない。したがって積が $12 = 2^{2} \cdot 3$ となる出方の数は

[X^{2} Y] (1 + X + Y + X^{2} + X Y)^{n}

である。 $X^{2} Y$ を作る選び方は

(X^{2}, Y), (X Y, X), (X, X, Y)

の3種類なので、その係数は

n (n - 1) + n (n - 1) + \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{2} = \frac{n ( n - 1 ) ( n + 2 )}{2} .

よって

p_{n} = \frac{n ( n - 1 ) ( n + 2 )}{2 \cdot 6 ^{n}} .

特に

p_{2} = \frac{1}{9}, p_{3} = \frac{5}{72}

である。

(問3)

$n$ 回目に初めて積が $12$ となるとき、最後の目は $2, 3, 4, 6$ のいずれかである。最初の $n - 1$ 回の積が順に $6, 4, 3, 2$ となる出方の数は

(n - 1)^{2}, \frac{n ( n - 1 )}{2}, n - 1, n - 1

である。したがって求める出方の数は

(n - 1)^{2} + \frac{n ( n - 1 )}{2} + 2 (n - 1) = \frac{( n - 1 ) ( 3 n + 2 )}{2} .

ゆえに求める確率は

\frac{( n - 1 ) ( 3 n + 2 )}{2 \cdot 6 ^{n}}

である。

熊本大学 2023年度文理共通数学 数学① 第2問／数学② 第2問

問題

方針

解法1

解法2（母関数で出目を符号化）

解答

解法1

(問1)

(問2)

(問3)

解法2（母関数で出目を符号化）

(問1)(問2)

(問3)

熊本大学 2023年度
文理共通数学数学① 第2問／数学② 第2問