熊本大学 2023年度文理共通数学第3問（医学部医学科）解答・解説

問題

$x y$ 平面上に点 $P$ $(cos θ, sin θ)$ をとり, $θ$ が $- \frac{π}{2} ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ の範囲を動くとする．点 $A$ は $y$ 軸上の点で, $y$ 座標が負であり, $A P = 2$ を満たす．点 $Q$ は $A Q = 4 A P$ を満たす点とする．以下の問いに答えよ．(問1)　点 $Q$ の座標を $θ$ を用いて表せ．(問2)　点 $Q$ の $x$ 座標の最大値と最小値および $y$ 座標の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．(問3)　点 $Q$ の軌跡と $y$ 軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

出典：熊本大学 2023年度前期文理共通第3問

方針

解法1

点 $A = (0, a)$ とおき，距離条件から負の解 $a$ を選ぶ。 $Q = A + 4 (P - A)$ で座標を得た後， $x$ 座標と $y$ 座標をそれぞれ一変数で調べる。面積は媒介変数表示された曲線と $y$ 軸で囲まれる領域として， $\int x d y$ を計算する。

解法2（代数的不等式と線積分）

$s = sin θ$ として座標を整理する。 $y$ 座標の上下限は平方して完全平方へ直すことで微分を使わず証明し、面積は標準解法と相補的な線積分 $- \int y d x$ で計算する。

解答

解法1

(問1)

$A = (0, a)$ とおく。 $a < 0$ であり， $A P = 2$ より

cos^{2} θ + (sin θ - a)^{2} = 4

である。したがって

a^{2} - 2 a sin θ - 3 = 0

となる。 $a < 0$ であるから

a = sin θ - sin^{2} θ + 3

である。 $A Q = 4 A P$ より $Q = 4 P - 3 A$ であるから，点 $Q$ の座標は

(4 cos θ, sin θ + 3 sin^{2} θ + 3)

である。

(問2)

$- \frac{π}{2} ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ では $0 ≦ cos θ ≦ 1$ であるから， $x$ 座標の最小値は $0$ ，最大値は $4$ である。

$s = sin θ$ とおくと $- 1 ≦ s ≦ 1$ であり， $y$ 座標は

Y = s + 3 s^{2} + 3

である。微分すると

Y^{'} = 1 + \frac{3 s}{s ^{2} + 3}

である。 $Y^{'} = 0$ となるのは $s = - \frac{6}{4}$ のときであり，このとき

Y = 26

である。また $Y (- 1) = 5, Y (1) = 7$ であるから， $y$ 座標の最小値は $26$ ，最大値は $7$ である。

(問3)

$Q = (x (θ), y (θ))$ とおくと

x (θ) = 4 cos θ, \frac{d y}{d θ} = cos θ (1 + \frac{3 sin θ}{sin ^{2} θ + 3})

である。曲線は $(0, 5)$ から $(0, 7)$ までを右側にふくらんで結ぶので， $y$ 軸で囲まれる面積 $S$ は

S = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} x (θ) \frac{d y}{d θ} d θ = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 cos^{2} θ (1 + \frac{3 sin θ}{sin ^{2} θ + 3}) d θ .

第2項の被積分関数は奇関数であるから積分は $0$ である。よって

S = 4 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} cos^{2} θ d θ = 2 π

である。

解法2（代数的不等式と線積分）

(問1)

$A = (0, a)$ 、 $a < 0$ とおくと $A P = 2$ より

a = sin θ - sin^{2} θ + 3 .

$Q = 4 P - 3 A$ だから

Q = (4 cos θ, sin θ + 3 sin^{2} θ + 3) .

(問2)

$0 ≦ cos θ ≦ 1$ より、 $x$ 座標の最小値は $0$ 、最大値は $4$ である。 $s = sin θ \in [- 1, 1]$ とし

Y = s + 3 s^{2} + 3

とおく。 $26 - s > 0$ であり

9 (s^{2} + 3) - (26 - s)^{2} = 8 (s + \frac{6}{4})^{2} ≧ 0

だから $Y ≧ 26$ 、等号は $s = - 6 /4$ で成立する。また $7 - s > 0$ で

(7 - s)^{2} - 9 (s^{2} + 3) = - 2 (4 s + 11) (s - 1) ≧ 0

だから $Y ≦ 7$ 、等号は $s = 1$ で成立する。よって $y$ 座標の最小値は $26$ 、最大値は $7$ である。

(問3)

曲線を $θ = - π /2$ から $π /2$ までたどると $(0, 5)$ から $(0, 7)$ へ進む。 $y$ 軸上では $d x = 0$ だから、面積は

S = - \int_{- π /2}^{π /2} y (θ) x^{'} (θ) d θ .

$x^{'} = - 4 sin θ$ を代入すると

S = 4 \int_{- π /2}^{π /2} (sin^{2} θ + 3 sin θ sin^{2} θ + 3) d θ .

第2項は奇関数なので消え、

S = 4 \int_{- π /2}^{π /2} sin^{2} θ d θ = 2 π

である。

熊本大学 2023年度文理共通数学 第3問（医学部医学科）

問題

方針

解法1

解法2（代数的不等式と線積分）

解答

解法1

(問1)

(問2)

(問3)

解法2（代数的不等式と線積分）

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2023年度
文理共通数学第3問（医学部医学科）