問題
3桁の自然数（，，は，，，を満たす整数）を考える．
(1) 平方数かつ奇数であるで，2次関数のグラフが軸と接するようなものをすべて求めよ．
(2) 命題「およびが平方数のとき2次関数のグラフは軸と接する．」は正しいか．正しければそれを示し，正しくなければ反例をあげよ．
(3) あるについて，2次関数のグラフは座標が整数である相異なる2点で軸と交わり，グラフと軸とで囲まれる部分の面積が4となる．このときのを求めよ．
方針
接する条件は判別式 である。(1)では3桁の奇数平方数の末尾を に分け、判別式0を満たす数字だけを拾う。(2)は反例で否定する。(3)では整数根を とし、面積公式 から根の差と係数 を先に決め、数字条件で最後まで絞る。
解答
(1)
2次関数 のグラフが 軸と接する条件は である。また は奇数の平方数なので、一の位 は のいずれかである。 のとき、判別式0は である。したがって は平方数で、候補は である。対応する は で、いずれも奇数の平方数である。 のときは であるが、、 を満たす平方数 は得られない。 のときは である。桁の条件から可能なのは だけであり、 は奇数の平方数である。
したがって求める数は である。
(2)
命題は正しくない。反例として を取る。このとき 、また百の位は であり、どちらも平方数である。しかし であるから、 のグラフは 軸と接しない。よって命題は偽である。
(3)
2つの整数根を とする。このとき と書ける。 では だから、囲まれる部分の面積は
である。これが4に等しいので である。 は1桁の正整数、 は正整数である。 が24を割る必要があるので しかない。
根と係数の関係より である。 とおくと
より、可能なのは または である。前者では となり不適。後者、すなわち 、 のとき となり条件を満たす。よって である。