問題
右図のような四角形において，直線と直線の交点，直線と直線の交点，直線と直線の交点，直線と直線の交点がえられたとする．
(1) が成り立つことを示せ．
(2) がの中点で，であるとき，，とおく．次の条件を満たす，，の値を求めよ．
(i)
(ii)
(iii) 四角形が円に内接するとき，
出典：九州大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問(c)
方針
(1)は図形定理の名前だけに頼らず、交点 を原点に置いて座標計算で比を確認する。(2)ではその座標式に が の中点である条件を入れて を求める。続いてメネラウスの定理で を求め、円に内接する条件は点 の方べき で処理する。
解答
(1)
直線 と直線 の交点 を原点に取り、直線 を 軸、直線 を 軸とする。座標を とおく。
このとき、直線 と直線 の交点 を求め、さらに直線 と直線 の交点 を求める。計算すると である。直線 と 軸との交点が であるから、 の 座標を求めると となる。
有向線分の比で考えると
である。一方 である。したがって が成り立つ。
(2)(i)
(1)の座標で、 が の中点であることは を意味する。 なので より である。したがって となる。よって である。問題の記号で だから であり、 である。
(2)(ii)
三角形 において、直線 にメネラウスの定理を用いると である。(i)より である。また より、、したがって なので である。よって となるから である。問題の記号で だから であり、 である。
(2)(iii)
四角形 が円に内接するとき、点 の方べきより が成り立つ。(i)、(ii)より であり、 である。したがって すなわち である。 より となる。よって である。