問題
以下において，はすべての実数において微分可能な関数とし，とおく．ただし，は自然対数の底である．
(1) 定数関数でない関数で
条件(A)「すべてのに対してである」
をみたすものの例をあげよ．
(2) 関数が
条件(B)「すべてのに対してである」
をみたすとき，ならばであることを示せ．
(3) 関数が(1)の条件(A)をみたすとき，(ただし，は正の整数)をを用いて表せ．
(4) 関数が(1)，(2)の条件(A)，(B)をともにみたすとする．
(i) となるが存在すれば，であることを示せ．
(ii) あるでであれば，すべてのでとなることを示せ．
方針
条件(B)は を微分すると単調性に変わる。条件(A)は の周期性なので、 という倍率つきの関係になる。この2つを組み合わせ、 と を別々に示して、最後に恒等的に0であることを導く。
解答
(1)
例えば とすればよい。この関数は定数関数ではなく、すべての について を満たす。
(2)
を微分すると である。 であり、条件(B)より だから である。したがって は単調減少である。よって なら である。
(3)
条件(A)より、正の整数 について である。したがって である。
(4)(i)
とする。このとき なので である。一方、(2)より は単調減少だから である。(3)より なので すなわち である。 だから である。よって 、したがって である。
(4)(ii)
ある で とする。このとき であり、(3)から任意の正の整数 について である。
まず任意の に対して、(2)の単調性と(3)を と に適用すると である。したがって より がすべての で成り立つ。
次に、任意の を固定する。十分大きい正の整数 を取れば とできる。 は単調減少で、しかも だから である。よってすべての で も成り立つ。以上より がすべての で成り立つ。 であるから がすべての で成り立つ。