九州大学 1998年度文理共通数学第3問(b)・第4問(b) 解答・解説

問題

(1) 自然数 $n = 1, 2, 3, \dots\dots$ について，次の等式が成り立つことを示せ．

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots\dots + n^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)

(2) 辺の長さ1の正三角形のタイルをいくつか用意して，辺の長さが自然数 $m$ の正三角形をタイルで張りつめたい．

(i) $m = 2, 3, 4$ のとき，どのようにタイル張りすれば良いか図示せよ．

(ii) 一般に，辺の長さ $m$ の正三角形をタイルで張りつめるのに必要なタイルの個数を $m$ の式で表し，その式が成り立つ理由を述べよ．

(3) 辺の長さ1の正三角形を底面とする高さ1の正三角柱のブロックをいくつか用意して，すき間なく並べて高さ1の正三角柱の台を作る．このような台を $n$ 段積み上げ，高さ $n$ の台を作る．この台を真横から見たとき右図のように見えたという．ただし，図の小四角形はすべて辺の長さ1の正方形である．このとき台全体の体積を求めよ．

出典：九州大学 1998年度前期日程第2次学力試験文系第3問(b)／理系第4問(b)

方針

平方和公式は差分を作って望ましい右辺が1項ずつ増えることを示す。正三角形タイルは上からの段に分けると奇数列 $1, 3, 5, \dots$ が現れる。立体では真横から見える各段について、同じ段の奥行き方向にも同じ個数の並びがあると読み、 $(2 k - 1)^{2}$ 個を足し上げる。

解答

(1)

$T_{n} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$ とおく。 $T_{0} = 0$ と考えると $T_{k} - T_{k - 1} = \frac{1}{6} {k (k + 1) (2 k + 1) - (k - 1) k (2 k - 1)}$ である。中を展開すると $k (k + 1) (2 k + 1) - (k - 1) k (2 k - 1) = 6 k^{2}$ だから $T_{k} - T_{k - 1} = k^{2}$ である。したがって $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = (T_{1} - T_{0}) + (T_{2} - T_{1}) + \dots + (T_{n} - T_{n - 1}) = T_{n}$ となり、 $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$ が示された。

(2)(i)

一辺をそれぞれ2等分、3等分、4等分し、各分点を辺に平行な線で結べばよい。すると、一辺の長さが1の正三角形だけに分割される。図示するときは、 $m = 2$ では4個、 $m = 3$ では9個、 $m = 4$ では16個の小正三角形に分ければよい。

(2)(ii)

上から $k$ 段目には、小正三角形が $2 k - 1$ 個並ぶ。よって必要なタイルの個数は $1 + 3 + 5 + \dots + (2 m - 1)$ である。これは $\sum_{k = 1}^{m} (2 k - 1) = 2 \cdot \frac{m ( m + 1 )}{2} - m = m^{2}$ となる。したがって必要なタイル数は $m^{2}$ である。

(3)

真横から見て上から $k$ 段目にあたる層では、横方向に $2 k - 1$ 個の単位が並ぶ。同じ層を上から見ると、奥行き方向にも同じ三角形状の並びができるので、その層に含まれる正三角柱の個数は $(2 k - 1)^{2}$ 個である。したがってブロックの総数は $\sum_{k = 1}^{n} (2 k - 1)^{2}$ である。

(1)の平方和公式を使うと $\sum_{k = 1}^{n} (2 k - 1)^{2} = \sum_{k = 1}^{n} (4 k^{2} - 4 k + 1)$

= 4 \cdot \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} - 4 \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} + n = \frac{1}{3} n (2 n - 1) (2 n + 1) .

ブロック1個の底面積は、一辺1の正三角形の面積 $\frac{3}{4}$ であり、高さは1である。よってブロック1個の体積は $3 /4$ で、台全体の体積は

\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} n (2 n - 1) (2 n + 1) = \frac{3}{12} n (2 n - 1) (2 n + 1)

である。

九州大学 1998年度文理共通数学 第3問(b)・第4問(b)

問題

方針

解答

(1)

(2)(i)

(2)(ii)

(3)

九州大学 1998年度
文理共通数学第3問(b)・第4問(b)