問題
辺の長さ1の正四面体において，，，とおき，線分をに内分する点を，線分をに内分する点を，線分をに内分する点を，線分をに内分する点をとする．（ただし，とする．）
(1)
(i) ，を，，で表せ．
(ii) とが垂直かどうかを調べよ．
(2)
(i) 点，，，が同一平面上にあるときの，の関係を求めよ．
(ii) このとき，の交点をとして，を，，で表せ．
(iii) は正四面体に外接する球の中心であることを示し，その球の半径を求めよ．
出典：九州大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第5問(a)
方針
内分点の位置ベクトルを のまま表し、正四面体の内積 で垂直性を確認する。同一平面条件は、 が の張る平面上にあるとして係数比較し、 まで落とす。以後は として交点と外接球中心を直接距離計算で示す。
解答
(1)(i)
内分点の公式より
である。また
である。したがって
である。
(1)(ii)
正四面体より
である。(1)(i)の2つのベクトルの内積を計算すると
長さの2乗の項は で、異なるベクトルの内積の項は である。したがって内積は0となり、 である。
(2)(i)
4点 が同一平面上にあるとする。このとき
と書ける。両辺に を掛け、 の係数を比較すると を得る。最初の2式から である。これを3つ目の式に代入すると であり、両辺に を掛けて整理すると となる。 なので であり、 が必要である。
逆に のとき
であり、 となる。したがって4点は同一平面上にある。よって求める条件は である。
(2)(ii)
のとき、 と は同じ中点をもつ。したがって交点 は
である。
(2)(iii)
から各頂点までの距離を直接計算する。まず である。また だから
である。同様に である。したがって となり、 は正四面体 に外接する球の中心である。半径は である。