問題
(1) のとき，不等式が成り立つことを示せ．
(2)
(i) 不等式が成り立つことを示せ．
(ii) (i)の不等式で等号が成り立つのはどのような場合か調べよ．
出典：九州大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問(a)／理系 第4問(a)
方針
まず が で増加することを、差を取って確認する。次に を導入し、各項の分母を共通の に大きくして下から評価する。最後に三角不等式と単調性を組み合わせ、等号成立ではどの段階で等号が必要かを一つずつ戻って調べる。
解答
(1)
より、分子は非負、分母は正である。したがって が成り立つ。
(2)(i)
とおく。 であるから
である。同様に 、 についても
が成り立つ。よって
また、三角不等式より (1)を と に適用すると 以上を合わせて、求める不等式が示された。
(2)(ii)
上の証明で等号が成り立つには、まず
が同時に必要である。例えば1つ目の等号は または のときに限る。したがって、 のうち2つ以上が0でないと、少なくとも1つの項で等号にならない。
逆に、 のうち0でないものが高々1つであれば、左辺と右辺は同じ値になる。したがって等号成立条件は ことである。
別解。 に対して
が成り立つ。これを 、 に適用し、さらに 、 に適用すると
を得る。あとは三角不等式と(1)を使えば同じ結論になる。この方法でも、等号は各2変数の積が0になるとき、つまり高々1つだけが0でないときに限られる。