九州大学 1998年度理系数学第3問解答・解説

問題

平面上の曲線 $C$ が媒介変数 $t$ を用いて $x = sin t - t cos t$ ， $y = cos t + t sin t$ $(0 ≦ t ≦ π)$ で与えられている．

(1) 曲線 $C$ の長さを求めよ．

(2) 曲線 $C$ 上の各点 $P$ において， $P$ における接線と $P$ で直交する直線を考える．この直線上の点で原点までの距離が最短となる点は， $P$ を動かすときどんな図形を描くか．

(3) $\int_{0}^{π} t sin 2 t d t$ を求めよ．

(4) 曲線 $C$ と $y$ 軸および直線 $y = - 1$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求めよ．

出典：九州大学 1998年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

媒介変数表示を微分し、速度ベクトル $(t sin t, t cos t)$ から弧長と法線を求める。法線上で原点に最も近い点は、直線に原点から下ろした垂線の足として計算する。面積は $x$ が $0 ≦ t ≦ π$ で増加することを使い、 $d x = t sin t d t$ によって $t$ の積分に直す。

解答

(1)

$x = sin t - t cos t, y = cos t + t sin t$ を微分すると $\frac{d x}{d t} = cos t - (cos t - t sin t) = t sin t$ であり、 $\frac{d y}{d t} = - sin t + (sin t + t cos t) = t cos t$ である。したがって曲線の長さは

\int_{0}^{π} (t sin t)^{2} + (t cos t)^{2} d t = \int_{0}^{π} t d t = \frac{π ^{2}}{2}

である。

(2)

点 $P$ における接線方向ベクトルは $(t sin t, t cos t)$ である。 $t = 0$ では極限として考えればよく、 $0 < t ≦ π$ ではこれに垂直な直線、すなわち法線は $sin t {X - (sin t - t cos t)} + cos t {Y - (cos t + t sin t)} = 0$ である。整理すると $X sin t + Y cos t = 1$ となる。

この直線の法線ベクトル $(sin t, cos t)$ は長さ1であるから、原点からこの直線に下ろした垂線の足は $(sin t, cos t)$ である。したがって求める点の軌跡は $X^{2} + Y^{2} = 1, X ≧ 0$ で表される右半円である。

(3)

部分積分により

\int_{0}^{π} t sin 2 t d t = [- \frac{t cos 2 t}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} cos 2 t d t .

第2項は0であり、 $cos 2 π = 1$ だから $\int_{0}^{π} t sin 2 t d t = - \frac{π}{2}$ である。

(4)

$0 ≦ t ≦ π$ では $\frac{d x}{d t} = t sin t ≧ 0$ である。したがって求める面積は、曲線の $y$ 座標と直線 $y = - 1$ の差を $x$ について積分して $S = \int_{0}^{π} (y + 1) \frac{d x}{d t} d t$ と表せる。よって $S = \int_{0}^{π} (cos t + t sin t + 1) t sin t d t$ である。

ここで $\int_{0}^{π} t sin t d t = π$ であり、また(3)より

\int_{0}^{π} t sin t cos t d t = \frac{1}{2} \int_{0}^{π} t sin 2 t d t = - \frac{π}{4}

である。さらに

\int_{0}^{π} t^{2} sin^{2} t d t = \frac{1}{2} \int_{0}^{π} t^{2} d t - \frac{1}{2} \int_{0}^{π} t^{2} cos 2 t d t .

部分積分と(3)から

\int_{0}^{π} t^{2} cos 2 t d t = [\frac{t ^{2} sin 2 t}{2}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} t sin 2 t d t = \frac{π}{2}

である。したがって $\int_{0}^{π} t^{2} sin^{2} t d t = \frac{π ^{3}}{6} - \frac{π}{4}$ である。

以上より

S = - \frac{π}{4} + (\frac{π ^{3}}{6} - \frac{π}{4}) + π = \frac{π ^{3}}{6} + \frac{π}{2}

である。

九州大学 1998年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

九州大学 1998年度
理系数学第3問