九州大学 1998年度
理系数学 第5問(b)

解答

(1)

因数分解すると $x^3-(2k+1)x^2+(4k^2+2k)x-4k^2=(x-1)(x^2-2kx+4k^2)$ である。したがって解は $z_1=1,z_2=k(1+\sqrt{3}i),z_3=k(1-\sqrt{3}i)$ と表せる。

複素数平面上では、これらは $(1,0),(k,\sqrt{3}k),(k,-\sqrt{3}k)$ である。$k\ne 0$ のとき、後の2点は直線 $x=k$ 上の異なる2点なので、3点が一直線上にあるには $1=k$ が必要である。また $k=0$ のときは $z_2=z_3=0$ となり、3点はいずれも実軸上にある。よって $k=0,1$ である。

(2)

$k=0$ では三角形にならないので除いて考える。3点は実軸に関して対称であり、$|z_2-z_1|=|z_3-z_1|$ である。したがって直角三角形になるなら、直角は $z_1$ の位置にある。そこで $z_2-z_1=(k-1)+\sqrt{3}ki,z_3-z_1=(k-1)-\sqrt{3}ki$ に対応する2つのベクトルの内積を0にする。すなわち $(k-1{)}^2-3k^2=0$ である。整理して $2k^2+2k-1=0$ だから $k=\frac{-1\pm \sqrt{3}}{2}$ である。

(3)

正六角形の6頂点はすべて原点から同じ距離にある。したがって $|z_1|=|z_2|=|z_3|$ が必要である。$|z_1|=1$、$|z_2|=|z_3|=2|k|$ だから $2|k|=1$ より $k=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}$ である。 $k=1/2$ のとき、回転前の偏角は $0,\frac{\pi }{3},-\frac{\pi }{3}$ である。これを $\theta =\pi /2$ だけ回転すると、偏角は $\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{6},\frac{\pi }{6}$ となり、共役な点を合わせて正六角形の頂点になる。よって $\theta =\frac{\pi }{2}$ である。 $k=-1/2$ のとき、回転前の偏角は $0,\frac{2\pi }{3},-\frac{2\pi }{3}$ である。共役な点と合わせて60度間隔の6点にするには、これらを正六角形の交互の頂点の位置に置けばよい。$0\leqq \theta \leqq \pi$ で調べると $\theta =\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{6}$ である。

したがって求める組は

である。