熊本大学 2026年度文理共通数学第3問（理工系）解答・解説

問題

最高次の係数が $1$ である $2$ つの $3$ 次関数 $f (x)$ と $g (x)$ は，次の条件 (i) と (ii) を満たすとする。

(i) $g (2) = 0$

(ii) $k = 2, 3, 4, 5$ に対して， $lim_{x \to k} \frac{f ( x )}{g ( x )} = (k - 2) (k - 3)$

以下の問いに答えよ。

(問1) $f (x)$ と $g (x)$ をそれぞれ求めよ。

(問2) $\int_{4}^{5} \frac{g ( x )}{f ( x )} d x$ を求めよ。

出典：熊本大学 2026年度前期文理共通第3問

方針

極限が0である点では，分子の零点の重複度が分母より大きい。 $x = 2, 3$ での重複度を3次という次数制約と合わせて $f$ を一意に決める。続いて $g = (x - 2) (x^{2} + p x + q)$ とおき， $x = 4, 5$ の極限値から係数を定め，積分は部分分数分解する。

解答

(問1)

多項式 $h$ の $x = k$ における零点の重複度を $ν_{k} (h)$ と書く。有限な極限

x \to k lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = 0

が成り立つためには $ν_{k} (f) > ν_{k} (g)$ が必要である。

$g (2) = 0$ より $ν_{2} (g) ≧ 1$ であり， $k = 2$ の条件から $ν_{2} (f) ≧ 2$ である。また $k = 3$ の条件から $ν_{3} (f) ≧ 1$ である。 $f$ は3次で最高次係数が1だから，これらで次数を使い切り，

f (x) = (x - 2)^{2} (x - 3)

と一意に決まる。同時に $g$ の $x = 2$ の零点は1重である。

そこで

g (x) = (x - 2) (x^{2} + p x + q)

とおく。 $f (4), f (5) \neq = 0$ なので $g (4), g (5) \neq = 0$ であり，極限は値の比に等しい。条件より

f (4) = 2 g (4), f (5) = 6 g (5) .

$f (4) = 4, f (5) = 18$ だから $g (4) = 2, g (5) = 3$ である。よって

16 + 4 p + q = 1, 25 + 5 p + q = 1

となり， $p = - 9, q = 21$ を得る。したがって

g (x) = (x - 2) (x^{2} - 9 x + 21)

である。

(問2)

\frac{g ( x )}{f ( x )} = \frac{x ^{2} - 9 x + 21}{( x - 2 ) ( x - 3 )} = 1 - \frac{7}{x - 2} + \frac{3}{x - 3}

である。区間 $[4, 5]$ には特異点がないので

\int_{4}^{5} \frac{g ( x )}{f ( x )} d x = [x - 7 lo g (x - 2) + 3 lo g (x - 3)]_{4}^{5} = 1 - 7 lo g 3 + 10 lo g 2.

熊本大学 2026年度文理共通数学 第3問（理工系）

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

熊本大学 2026年度
文理共通数学第3問（理工系）