熊本大学 2026年度文理共通数学第2問・第4問解答・解説

問題

$m$ を $2$ 以上の整数として，毎回 $\frac{1}{m}$ の確率で当たりの出るくじを $n$ 回引く。このとき， $1$ 回も当たりを引かない確率を $p_{m, n}$ とする。以下の問いに答えよ。ただし，

0.30102 < lo g_{10} 2 < 0.30103, 0.47712 < lo g_{10} 3 < 0.47713

であることを用いてよい。

(問1) $p_{m, n}$ を $m, n$ を用いて表せ。

(問2) $p_{25, n} < 0.1$ となる最小の $n$ を求めよ。

(問3) $lim_{m \to \infty} p_{m, 2 m}$ を求めよ。ただし， $lim_{k \to \infty} (1 + \frac{1}{k})^{k} = e$ （自然対数の底）を用いてよい。

出典：熊本大学 2026年度前期文理共通第2問／文理共通第4問

方針

解法1（常用対数と定義極限）

当たりを引かない確率を1回ごとの確率の積で表す。 $m = 25$ では常用対数を取り， $n lo g_{10} (25/24) > 1$ に直して与えられた $lo g_{10} 2, lo g_{10} 3$ の範囲評価で $n = 56, 57$ を判定する。極限は $(1 - 1/ m)^{m}$ を自然対数の底の定義に帰着させる。

解法2（問3：対数のはさみうち）

$p_{m, 2 m}$ の自然対数を取り， $0 < t < 1$ に対する標準不等式 $- t / (1 - t) ≦ lo g (1 - t) ≦ - t$ を使って極限をはさむ。

解答

解法1（常用対数と定義極限）

(問1)

1回のくじで当たりを引かない確率は $1 - \frac{1}{m}$ である。各回は同じ確率で行われるから

p_{m, n} = (1 - \frac{1}{m})^{n}

である。

(問2)

p_{25, n} = (\frac{24}{25})^{n}

であるから， $p_{25, n} < 0.1$ は

(\frac{25}{24})^{n} > 10

と同値である。常用対数をとると

n lo g_{10} \frac{25}{24} > 1

である。ここで

lo g_{10} \frac{25}{24} = 2 - 5 lo g_{10} 2 - lo g_{10} 3

であるから，条件より

0.01772 < lo g_{10} \frac{25}{24} < 0.01778

である。したがって

57 \cdot 0.01772 = 1.01004 > 1

より $n = 57$ は条件を満たす。一方，

56 \cdot 0.01778 = 0.99568 < 1

より $n = 56$ は条件を満たさない。よって求める最小の $n$ は

57

である。

(問3)

p_{m, 2 m} = (1 - \frac{1}{m})^{2 m}

である。 $k = m - 1$ とおくと

(1 - \frac{1}{m})^{m} = (1 + \frac{1}{k})^{- m} = {(1 + \frac{1}{k})^{k}}^{- m / k}

である。 $m \to \infty$ のとき $k \to \infty$ かつ $m / k \to 1$ であるから

m \to \infty lim (1 - \frac{1}{m})^{m} = \frac{1}{e}

である。したがって

m \to \infty lim p_{m, 2 m} = (\frac{1}{e})^{2} = \frac{1}{e ^{2}}

である。

解法2（問3：対数のはさみうち）

(問3)

$0 < t < 1$ に対して

- \frac{t}{1 - t} ≦ lo g (1 - t) ≦ - t

が成り立つ。これは両辺との差を微分すれば確認できる。 $t = 1/ m$ として $2 m$ 倍すると

- \frac{2 m}{m - 1} ≦ 2 m lo g (1 - \frac{1}{m}) ≦ - 2.

左右はともに $- 2$ に収束するから

lo g p_{m, 2 m} = 2 m lo g (1 - \frac{1}{m}) ⟶ - 2.

指数関数の連続性より

m \to \infty lim p_{m, 2 m} = e^{- 2} = \frac{1}{e ^{2}}

である。

熊本大学 2026年度文理共通数学 第2問・第4問

問題

方針

解法1（常用対数と定義極限）

解法2（問3：対数のはさみうち）

解答

解法1（常用対数と定義極限）

(問1)

(問2)

(問3)

解法2（問3：対数のはさみうち）

(問3)

熊本大学 2026年度
文理共通数学第2問・第4問