熊本大学 2026年度文理共通数学第3問（医学部医学科）解答・解説

問題

四面体 $O A B C$ について， $O A = O B = 1$ ， $O C = 3$ ， $∠ A O C = ∠ B O C = \frac{π}{3}$ が成り立つとする。 $△ O A B$ を含む平面上に点 $C$ から下ろした垂線の足を $D$ とし， $O A = a$ ， $O B = b$ ， $O C = c$ ， $A B = x$ とおく。ただし， $0 < x < 3$ とする。以下の問いに答えよ。

(問1) $O D$ を $x, a, b$ を用いて表せ。

(問2) 四面体 $O A B C$ の体積を $x$ を用いて表せ。

(問3) $△ O A B$ の外接円の中心を $P$ とする。 $D P = \frac{5}{3}$ となるような $x$ の値を求めよ。

出典：熊本大学 2026年度前期文理共通第3問

方針

解法1（内積と正射影）

$a, b$ の内積を $A B = x$ から求め， $c$ との内積条件を使う。垂線の足 $D$ は平面 $O A B$ 上にあり，条件が対称なので $O D = t (a + b)$ とおける。高さ $C D$ は $∣ c ∣^{2} - ∣ O D ∣^{2}$ から求め，外心 $P$ も $s (a + b)$ の形にして $D P$ の条件を解く。

解法2（問3：二等辺三角形の対称軸）

$M$ を $A B$ の中点とする。二等辺三角形 $O A B$ の対称軸上に $P, D$ があることを使い， $O M, O P, O D$ を長さだけで求める。

解答

解法1（内積と正射影）

図を準備中です。

図は位置関係を示す模式図であり， $M$ は $A B$ の中点である。対称性から $O, P, D, M$ は同一直線上にある。

(問1)

$∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 1$ であり， $A B = x$ だから

x^{2} = ∣ a - b ∣^{2} = 2 - 2 a \cdot b

より

a \cdot b = 1 - \frac{x ^{2}}{2}

である。また $∠ A O C = ∠ B O C = \frac{π}{3}$ より

a \cdot c = b \cdot c = \frac{3}{2}

である。

点 $D$ は平面 $O A B$ 上にあり， $a, b$ に対して対称であるから

O D = t (a + b)

とおける。 $C D$ は平面 $O A B$ に垂直なので

(c - t (a + b)) \cdot a = 0

である。したがって

\frac{3}{2} - t (1 + a \cdot b) = 0

であり，

1 + a \cdot b = 2 - \frac{x ^{2}}{2} = \frac{4 - x ^{2}}{2}

より

t = \frac{3}{4 - x ^{2}}

である。ゆえに

O D = \frac{3}{4 - x ^{2}} (a + b)

である。

(問2)

∣ a + b ∣^{2} = 2 + 2 a \cdot b = 4 - x^{2}

であるから，(問1)より

O D^{2} = \frac{9}{4 - x ^{2}}

である。 $O C = 3$ かつ $C D ⊥ 平面 O A B$ であるから

C D^{2} = O C^{2} - O D^{2} = 9 - \frac{9}{4 - x ^{2}} = \frac{9 ( 3 - x ^{2} )}{4 - x ^{2}}

である。

一方， $△ O A B$ は $O A = O B = 1, A B = x$ の二等辺三角形なので，その面積は

\frac{x 4 - x ^{2}}{4}

である。したがって四面体 $O A B C$ の体積は

\frac{1}{3} \cdot \frac{x 4 - x ^{2}}{4} \cdot \frac{3 3 - x ^{2}}{4 - x ^{2}} = \frac{x 3 - x ^{2}}{4}

である。

(問3)

$△ O A B$ の外接円の中心 $P$ も対称性から

O P = s (a + b)

とおける。 $O P = A P$ より

∣ s (a + b) ∣^{2} = ∣ s (a + b) - a ∣^{2}

であるから

s (a + b) \cdot a = \frac{1}{2}

となる。したがって

s \cdot \frac{4 - x ^{2}}{2} = \frac{1}{2}

より

s = \frac{1}{4 - x ^{2}}

である。

(問1)より $O D = \frac{3}{4 - x ^{2}} (a + b)$ であるから

D P = \frac{2}{4 - x ^{2}} (a + b) = \frac{2}{4 - x ^{2}}

である。これが $\frac{5}{3}$ に等しいので

\frac{2}{4 - x ^{2}} = \frac{5}{3}

である。よって

4 - x^{2} = \frac{6}{5}, x^{2} = \frac{64}{25}

となる。 $0 < x < 3$ より

x = \frac{8}{5}

である。

解法2（問3：二等辺三角形の対称軸）

(問3)

$M$ を $A B$ の中点とする。 $O A = O B = 1, A B = x$ より

O M = 1 - \frac{x ^{2}}{4} = \frac{4 - x ^{2}}{2} .

外心 $P$ は直線 $O M$ 上にあり， $O P = A P$ である。直角三角形 $A M P$ に $A M = x /2$ ， $M P = O M - O P$ を代入すると

O P^{2} = \frac{x ^{2}}{4} + (O M - O P)^{2}

であるから

O P = \frac{1}{4 - x ^{2}} .

また $D$ も直線 $O M$ 上にある。 $O C \cdot O A = 3/2$ と， $O M$ が $a + b$ の方向であることから

O D = \frac{3}{4 - x ^{2}} .

したがって

D P = O D - O P = \frac{2}{4 - x ^{2}} .

これが $5/3$ なので

4 - x^{2} = \frac{36}{25}, x^{2} = \frac{64}{25} .

$x > 0$ より $x = 8/5$ である。

熊本大学 2026年度文理共通数学 第3問（医学部医学科）

問題

方針

解法1（内積と正射影）

解法2（問3：二等辺三角形の対称軸）

解答

解法1（内積と正射影）

(問1)

(問2)

(問3)

解法2（問3：二等辺三角形の対称軸）

(問3)

熊本大学 2026年度
文理共通数学第3問（医学部医学科）