熊本大学 2026年度文理共通数学第3問・第2問解答・解説

問題

座標空間に2点 $O (0, 0, 0)$ ， $A (4, - 4, 2)$ がある。 $k$ を正の実数（ただし， $k \neq = 1$ ）とし，点 $P$ が $∣ O P ∣ = k ∣ A P ∣$ を満たして動くとき，以下の問いに答えよ。

(問1) $k = 2$ のとき，点 $P$ が描く図形の方程式を求めよ。

(問2) $k = 2$ のとき， $∣ O P ∣$ の最小値を求めよ。

(問3) $∣ O P ∣$ の最小値が $1$ となるような $k$ の値を求めよ。

出典：熊本大学 2026年度前期文系第3問／理系第2問

点 $P$ を $(x, y, z)$ とおき，距離条件を二乗して球面の方程式に直す。 $k = 2$ では平方完成により中心と半径を求める。一般の $k$ では同じ計算から球の中心距離と半径を表し，原点から球面までの最短距離を $k$ の式にして解く。

点 $P$ を $(x, y, z)$ とおく。 $k = 2$ のとき

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 {(x - 4)^{2} + (y + 4)^{2} + (z - 2)^{2}}

である。整理して平方完成すると

(x - \frac{16}{3})^{2} + (y + \frac{16}{3})^{2} + (z - \frac{8}{3})^{2} = 16

となる。したがって，点 $P$ が描く図形はこの球面である。

(問1)の球面の中心を $Q$ とすると

Q (\frac{16}{3}, - \frac{16}{3}, \frac{8}{3}), 半径 4

である。また

O Q = (\frac{16}{3})^{2} + (- \frac{16}{3})^{2} + (\frac{8}{3})^{2} = 8

である。原点から球面上の点までの距離の最小値は $O Q - 4$ であるから

4

である。

$∣ O A ∣ = 6$ である。一般の $k$ について距離条件を二乗すると

(k^{2} - 1) (x^{2} + y^{2} + z^{2}) - 2 k^{2} (4 x - 4 y + 2 z) + 36 k^{2} = 0

である。これは中心が直線 $O A$ 上にあり，中心の原点からの距離が

\frac{6 k ^{2}}{∣ k ^{2} - 1∣}

半径が

\frac{6 k}{∣ k ^{2} - 1∣}

である球面を表す。したがって原点から球面までの距離の最小値は， $k > 1$ のときも $0 < k < 1$ のときも

\frac{6 k}{k + 1}

である。これが $1$ に等しいから

\frac{6 k}{k + 1} = 1

となり， $k = \frac{1}{5}$ を得る。