熊本大学 2026年度文理共通数学第1問（理工系）解答・解説

問題

正の整数 $n$ に対して，数列 ${a_{n}}$ を

a_{n} = {n^{2} - 1 \frac{1}{2} n^{2} - n (n が奇数のとき), (n が偶数のとき)

で定める。 $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ とするとき，以下の問いに答えよ。

(問1) $S_{5}$ と $S_{6}$ をそれぞれ求めよ。

(問2) $S_{2 n - 1}$ と $S_{2 n}$ をそれぞれ $n$ を用いて表せ。

(問3) $\sum_{ℓ = 1}^{2 n} S_{ℓ}$ を $n$ を用いて表せ。

出典：熊本大学 2026年度前期文理共通第1問

方針

解法1（奇数項・偶数項を対にする）

奇数番目と偶数番目を $2 j - 1, 2 j$ とおいて明示し，1組ごとの和 $a_{2 j - 1} + a_{2 j}$ を求める。 $S_{2 n}$ は組ごとの和の総和， $S_{2 n - 1}$ はそこから $a_{2 n}$ を引く。最後は $S_{2 j - 1} + S_{2 j}$ を $j$ の多項式にして和の公式を使う。

解法2（問3：二重和の順序交換）

$S_{1} + \dots + S_{2 n}$ の中で各 $a_{k}$ が何回現れるかを数え，和の順序を交換する。奇数番目と偶数番目を分ければ，一度の多項式和で処理できる。

解答

解法1（奇数項・偶数項を対にする）

(問1)

a_{1} = 0, a_{2} = 0, a_{3} = 8, a_{4} = 4, a_{5} = 24, a_{6} = 12

である。したがって

S_{5} = 0 + 0 + 8 + 4 + 24 = 36, S_{6} = 36 + 12 = 48

である。

(問2)

$j$ を正の整数とすると

a_{2 j - 1} = (2 j - 1)^{2} - 1 = 4 j (j - 1), a_{2 j} = \frac{1}{2} (2 j)^{2} - 2 j = 2 j (j - 1)

である。したがって

a_{2 j - 1} + a_{2 j} = 6 j (j - 1)

であるから

S_{2 n} = j = 1 \sum n 6 j (j - 1) = 6 {j = 1 \sum n j^{2} - j = 1 \sum n j} = 2 n (n - 1) (n + 1)

である。また

S_{2 n - 1} = S_{2 n} - a_{2 n} = 2 n (n - 1) (n + 1) - 2 n (n - 1) = 2 n^{2} (n - 1)

である。

(問3)

(問2)より

S_{2 j - 1} + S_{2 j} = 2 j^{2} (j - 1) + 2 j (j - 1) (j + 1) = 2 j (j - 1) (2 j + 1)

である。したがって

ℓ = 1 \sum 2 n S_{ℓ} = j = 1 \sum n 2 j (j - 1) (2 j + 1) = j = 1 \sum n (4 j^{3} - 2 j^{2} - 2 j) = n^{2} (n + 1)^{2} - \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{3} - n (n + 1) = \frac{n ( n + 1 ) ( n - 1 ) ( 3 n + 4 )}{3} .

解法2（問3：二重和の順序交換）

(問3)

$a_{k}$ は $S_{k}, S_{k + 1}, \dots, S_{2 n}$ の $2 n - k + 1$ 個に現れるから

ℓ = 1 \sum 2 n S_{ℓ} = k = 1 \sum 2 n (2 n - k + 1) a_{k} .

ここで

a_{2 j - 1} = 4 j (j - 1), a_{2 j} = 2 j (j - 1)

を代入すると

ℓ = 1 \sum 2 n S_{ℓ} = j = 1 \sum n {2 (n - j + 1) \cdot 4 j (j - 1) + (2 n - 2 j + 1) \cdot 2 j (j - 1)} = j = 1 \sum n 2 j (j - 1) (6 n - 6 j + 5) .

$\sum j, \sum j^{2}, \sum j^{3}$ の公式で整理して

ℓ = 1 \sum 2 n S_{ℓ} = \frac{n ( n + 1 ) ( n - 1 ) ( 3 n + 4 )}{3}

を得る。

熊本大学 2026年度文理共通数学 第1問（理工系）

問題

方針

解法1（奇数項・偶数項を対にする）

解法2（問3：二重和の順序交換）

解答

解法1（奇数項・偶数項を対にする）

(問1)

(問2)

(問3)

解法2（問3：二重和の順序交換）

(問3)

熊本大学 2026年度
文理共通数学第1問（理工系）