熊本大学 2026年度文理共通数学第1問（文系学部）解答・解説

問題

時刻 $0$ 秒のときコマが座標平面上の点 $(0, 2)$ 上にあり，その後 $1$ 秒ごとにコマは次の規則に従って座標平面上を移動する。

・コマが点 $(x, y)$ （ $0 ≦ x < 2$ かつ $0 < y ≦ 2$ ）の上にあるとき， $\frac{2}{3}$ の確率で点 $(x + 1, y)$ に移動し， $\frac{1}{3}$ の確率で点 $(x, y - 1)$ に移動する。

・コマが点 $(2, y)$ （ $0 < y ≦ 2$ ）の上にあるとき，必ず点 $(2, y - 1)$ に移動する。

・コマが点 $(x, 0)$ （ $0 ≦ x < 2$ ）の上にあるとき，必ず点 $(x + 1, 0)$ に移動する。

こうして， $4$ 秒後にコマは点 $(2, 0)$ に到達する。時刻 $i$ 秒（ $i$ は $0 ≦ i ≦ 4$ を満たす整数）におけるコマの位置を表す点を $P_{i}$ とし，線分 $P_{i} P_{i + 1}$ （ $0 ≦ i ≦ 3$ ）を結んでできる折れ線と $x$ 軸および $y$ 軸で囲まれる部分の面積を $S$ とする。以下の問いに答えよ。

(問1) $S = 0$ となる確率を求めよ。

(問2) $S = 2$ となる確率を求めよ。

(問3) $S$ の期待値を求めよ。

出典：熊本大学 2026年度前期文理共通第1問

方針

解法1（6経路の全列挙）

4回の移動は右向きの移動を2回，下向きの移動を2回含む単調な経路に限られる。6通りの経路について，境界に達する前の確率を掛け合わせ，折れ線と座標軸で囲まれる面積を表にして求める。期待値は各面積にその確率を掛けて和をとる。

解法2（面積の確率母関数）

状態 $x, y$ から終点までに加わる面積の確率母関数を $F_{x, y} (t)$ とする。高さ $y$ で右へ1進むと面積が $y$ 増えるので，遷移式を下から計算すれば，経路を個別に並べずに面積の分布全体が得られる。

解答

解法1（6経路の全列挙）

(問1)

右への移動を $R$ ，下への移動を $D$ と書く。可能な経路と確率，面積 $S$ は次の通りである。

経路 R R D D R D R D R D D R D R R D D R D R D D R R 確率 (\frac{2}{3})^{2} = \frac{4}{9} \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{27} \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{27} \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{27} \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{27} (\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9} S 432210

したがって $S = 0$ となるのは経路 $D D R R$ のときだけであるから，求める確率は

\frac{1}{9}

である。

(問2)

$S = 2$ となるのは経路 $R D D R$ と $D R R D$ のときである。よって求める確率は

\frac{2}{27} + \frac{4}{27} = \frac{2}{9}

である。

(問3)

上の表より，期待値は

4 \cdot \frac{4}{9} + 3 \cdot \frac{4}{27} + 2 (\frac{2}{27} + \frac{4}{27}) + 1 \cdot \frac{2}{27} = \frac{74}{27}

である。

なお，表の確率の和は

\frac{4}{9} + \frac{4}{27} + \frac{2}{27} + \frac{4}{27} + \frac{2}{27} + \frac{1}{9} = 1

となり，全経路を尽くしていることも確認できる。

解法2（面積の確率母関数）

高さ $y$ で右へ移る1歩が面積に $y$ を加えることに注意する。状態 $(x, y)$ から終点までに加わる面積を $T$ とし，

F_{x, y} (t) = s \sum Pr (T = s) t^{s}

とおく。境界では

F_{2, y} (t) = F_{2, y - 1} (t), F_{x, 0} (t) = F_{x + 1, 0} (t)

であり，内部では

F_{x, y} (t) = \frac{2}{3} t^{y} F_{x + 1, y} (t) + \frac{1}{3} F_{x, y - 1} (t)

である。終点で $F_{2, 0} = 1$ として順に計算すると

F_{1, 1} (t) F_{1, 2} (t) F_{0, 1} (t) = \frac{2}{3} t + \frac{1}{3}, = \frac{2}{3} t^{2} + \frac{2}{9} t + \frac{1}{9}, = \frac{4}{9} t^{2} + \frac{2}{9} t + \frac{1}{3},

したがって

F_{0, 2} (t) = \frac{4}{9} t^{4} + \frac{4}{27} t^{3} + \frac{2}{9} t^{2} + \frac{2}{27} t + \frac{1}{9} .

よって係数を読めば

(問 1) Pr (S = 0) = \frac{1}{9}, (問 2) Pr (S = 2) = \frac{2}{9} .

また微分して $t = 1$ を代入すれば

(問 3) E [S] = F_{0, 2}^{'} (1) = 4 \cdot \frac{4}{9} + 3 \cdot \frac{4}{27} + 2 \cdot \frac{2}{9} + \frac{2}{27} = \frac{74}{27}

を得る。

熊本大学 2026年度文理共通数学 第1問（文系学部）

問題

方針

解法1（6経路の全列挙）

解法2（面積の確率母関数）

解答

解法1（6経路の全列挙）

(問1)

(問2)

(問3)

解法2（面積の確率母関数）

熊本大学 2026年度
文理共通数学第1問（文系学部）