熊本大学 2026年度文理共通数学第2問解答・解説

問題

$f (x) = \frac{1}{4} x^{2}$ とし， $- 2 < c < 0$ とする。 $a_{1} = c$ とし，座標平面上の点 $(a_{1}, f (a_{1}))$ を中心とする $x$ 軸に接する円を $C_{1}$ とする。 $2$ 以上の自然数 $n$ に対し，円 $C_{n}$ を円 $C_{n - 1}$ を用いて次のように定める。

円 $C_{n}$ は曲線 $y = f (x)$ 上に中心を持ち，円 $C_{n - 1}$ と $x$ 軸に同時に接する。

ただし，円 $C_{n}$ の中心の $x$ 座標 $a_{n}$ は，円 $C_{n - 1}$ の中心の $x$ 座標 $a_{n - 1}$ より大きいとする。以下の問いに答えよ。

(問1) $(a_{n - 1} - a_{n})^{2} = \frac{1}{4} (a_{n - 1} a_{n})^{2}$ を示せ。

(問2) $- 2 < a_{n} < 0$ が成り立つことを示せ。

(問3) $b_{n} = \frac{1}{a _{n}}$ とおく。 $b_{n + 1}$ を $b_{n}$ を用いて表せ。

(問4) $a_{n}$ を $c$ と $n$ を用いて表せ。

出典：熊本大学 2026年度前期文理共通第2問

方針

円 $C_{n}$ の中心を $(a_{n}, a_{n}^{2} /4)$ ，半径を $a_{n}^{2} /4$ と表す。2円が外接する条件を中心間距離と半径の和で書き，平方して漸化関係を得る。さらに $a_{n} > a_{n - 1}$ から符号を選び，逆数 $b_{n} = 1/ a_{n}$ に直して等差数列として解く。

解答

図を準備中です。

図は一例として $c = - 3/2$ としたものである。中心は放物線上に並び，各円は $x$ 軸と隣の円に接する。

(問1)

円 $C_{n}$ の中心は $(a_{n}, f (a_{n})) = (a_{n}, \frac{1}{4} a_{n}^{2})$ であり，半径は $\frac{1}{4} a_{n}^{2}$ である。円 $C_{n - 1}$ と円 $C_{n}$ はともに $x$ 軸に接し，互いに外接するから，中心間距離は半径の和に等しい。したがって

(a_{n - 1} - a_{n})^{2} + (\frac{1}{4} a_{n - 1}^{2} - \frac{1}{4} a_{n}^{2})^{2} = (\frac{1}{4} a_{n - 1}^{2} + \frac{1}{4} a_{n}^{2})^{2}

である。両辺を整理すると

(a_{n - 1} - a_{n})^{2} = \frac{1}{4} (a_{n - 1} a_{n})^{2}

を得る。

(問2)

$- 2 < a_{n - 1} < 0$ とする。(問1)より

(a_{n} - a_{n - 1})^{2} = \frac{1}{4} (a_{n - 1} a_{n})^{2}

である。 $a_{n} > a_{n - 1}$ を満たす解は

a_{n} - a_{n - 1} = \frac{1}{2} a_{n - 1} a_{n}

から得られる

a_{n} = \frac{2 a _{n - 1}}{2 - a _{n - 1}}

である。実際，もう一方の解 $a_{n} = \frac{2 a _{n - 1}}{2 + a _{n - 1}}$ は $- 2 < a_{n - 1} < 0$ のもとで $a_{n} < a_{n - 1}$ となり条件に合わない。

ここで $- 2 < a_{n - 1} < 0$ なら $2 - a_{n - 1} > 2$ であるから， $a_{n} < 0$ であり，また

a_{n} + 2 = \frac{2 a _{n - 1}}{2 - a _{n - 1}} + 2 = \frac{4}{2 - a _{n - 1}} > 0

より $- 2 < a_{n}$ である。 $a_{1} = c$ は $- 2 < c < 0$ を満たすので，帰納的にすべての自然数 $n$ について $- 2 < a_{n} < 0$ が成り立つ。

(問3)

上で得た関係を $n$ から $n + 1$ にずらすと

a_{n + 1} - a_{n} = \frac{1}{2} a_{n} a_{n + 1}

である。両辺を $a_{n} a_{n + 1}$ で割ると

\frac{1}{a _{n}} - \frac{1}{a _{n + 1}} = \frac{1}{2}

であるから， $b_{n} = \frac{1}{a _{n}}$ とおけば

b_{n + 1} = b_{n} - \frac{1}{2}

である。

(問4)

(問3)より ${b_{n}}$ は公差 $- \frac{1}{2}$ の等差数列であり， $b_{1} = \frac{1}{c}$ である。したがって

b_{n} = \frac{1}{c} - \frac{n - 1}{2} = \frac{2 - c ( n - 1 )}{2 c}

である。よって

a_{n} = \frac{1}{b _{n}} = \frac{2 c}{2 - c ( n - 1 )}

である。

最後に得られた式から

a_{n + 1} - a_{n} = \frac{2 c}{2 - c n} - \frac{2 c}{2 - c ( n - 1 )} = \frac{1}{2} a_{n} a_{n + 1}

も成り立ち，選んだ符号と一般項が元の接触条件に戻ることを確認できる。

熊本大学 2026年度文理共通数学 第2問

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

(問3)

(問4)

熊本大学 2026年度
文理共通数学第2問