熊本大学 2024年度文理共通数学第4問（医学部医学科）解答・解説

問題

$m$ を自然数とする。以下の問いに答えよ。(問1)　 $k^{2} - l^{2} = 3^{m}$ を満たす自然数の組 $(k, l)$ の個数を $m$ を用いて表せ。(問2)　 $x (x + 3^{m})$ が整数となるような自然数 $x$ で $3$ の倍数でないものを $m$ を用いて表せ。(問3)　 $x (x + 3^{m})$ が整数となるような自然数 $x$ の個数を $m$ を用いて表せ。

出典：熊本大学 2024年度前期文理共通第4問

方針

解法1（最大公約数で互いに素な平方へ分離）

(問1)は差の平方を $3$ のべきの因数対に分ける。(問2)(問3)は $d = g cd (x, x + 3^{m})$ を取り、 $d$ で割った互いに素な2数の積が平方数であることから、それぞれを平方数とする。互いに素という条件まで使って因数対を一意に絞る。

解法2（差の平方を直接因数分解）

(問1)は $(k - l) (k + l)$ 、(問3)は $(2 x + 3^{m})^{2} - (2 y)^{2}$ を因数分解する。後者の2因子は積が $3^{2 m}$ となる正の奇数なので、指数を割り振るだけで全解を重複なく列挙できる。

解答

解法1（最大公約数で互いに素な平方へ分離）

(問1)

(k - l) (k + l) = 3^{m}

である。 $0 < k - l < k + l$ より

k - l = 3^{a}, k + l = 3^{m - a}, 0 ≦ a < \frac{m}{2} .

$m = 2 s - 1$ または $m = 2 s$ のとき、 $a = 0, 1, \dots, s - 1$ の $s$ 通りである。逆に各 $a$ から

k = \frac{3 ^{m - a} + 3 ^{a}}{2}, l = \frac{3 ^{m - a} - 3 ^{a}}{2}

が得られるので、個数は $s$ である。

(問2)

$3 ∤ x$ なら $g cd (x, x + 3^{m}) = 1$ である。積が平方数なので

x = l^{2}, x + 3^{m} = k^{2}

と書ける。よって $k^{2} - l^{2} = 3^{m}$ である。(問1)の因数表示で $l$ が3の倍数でないためには $a = 0$ でなければならない。したがって

x = (\frac{3 ^{m} - 1}{2})^{2} .

(問3)

$d = g cd (x, x + 3^{m}) = 3^{r}$ とおく。 $x = 3^{r} X, x + 3^{m} = 3^{r} Y$ とすれば $g cd (X, Y) = 1$ である。積 $X Y$ は平方数なので

X = l^{2}, Y = k^{2}, g cd (k, l) = 1.

$r = m$ では $k^{2} - l^{2} = 1$ となり自然数解がないため、 $0 ≦ r ≦ m - 1$ である。 $t = m - r$ とおくと

(k - l) (k + l) = 3^{t} .

$k, l$ が互いに素なので、2因子の共通の3の指数は0でなければならない。ゆえに

k - l = 1, k + l = 3^{t},

となり、固定した $r$ ごとに解はただ1つ、

x = 3^{r} (\frac{3 ^{m - r} - 1}{2})^{2}

である。 $r = 0, 1, \dots, m - 1$ でこれらは互いに異なるから、個数は

m

である。

解法2（差の平方を直接因数分解）

(問1)

$(k - l) (k + l) = 3^{m}$ で、両因子は正の奇数である。ある整数 $a$ を用いて

k - l = 3^{a}, k + l = 3^{m - a}

と表せる。 $k - l < k + l$ より $0 ≦ a < m /2$ であり、逆にこの範囲の $a$ ごとに

k = \frac{3 ^{m - a} + 3 ^{a}}{2}, l = \frac{3 ^{m - a} - 3 ^{a}}{2}

が自然数解を与える。したがって $m = 2 s - 1, 2 s$ のいずれでも個数は $s$ である。

(問2)

$3 ∤ x$ なら $g cd (x, x + 3^{m}) = 1$ である。積が平方数なので

x = l^{2}, x + 3^{m} = k^{2}

となる。(問1)の表示で $3 ∤ l$ となるのは $a = 0$ だけだから

x = l^{2} = (\frac{3 ^{m} - 1}{2})^{2} .

(問3)

整数 $y$ を用いて

x (x + 3^{m}) = y^{2}

とおく。4倍して平方完成すると

(2 x + 3^{m})^{2} - (2 y)^{2} = 3^{2 m},

すなわち

(2 x + 3^{m} - 2 y) (2 x + 3^{m} + 2 y) = 3^{2 m} .

左の2因子は正の奇数で前者が後者より小さい。したがって、ある整数 $r$ により

2 x + 3^{m} - 2 y = 3^{r}, 2 x + 3^{m} + 2 y = 3^{2 m - r},

かつ $0 ≦ r < m$ と一意に表せる。2式を加えて

x = 3^{r} (\frac{3 ^{m - r} - 1}{2})^{2} .

逆に各 $r = 0, 1, \dots, m - 1$ は自然数解を与える。また括弧内は3の倍数でないので各解の $x$ に含まれる3の指数は $r$ であり、重複しない。よって求める個数は

m

である。

熊本大学 2024年度文理共通数学 第4問（医学部医学科）

問題

方針

解法1（最大公約数で互いに素な平方へ分離）

解法2（差の平方を直接因数分解）

解答

解法1（最大公約数で互いに素な平方へ分離）

(問1)

(問2)

(問3)

解法2（差の平方を直接因数分解）

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2024年度
文理共通数学第4問（医学部医学科）