熊本大学 2024年度文理共通数学第3問（文系学部）解答・解説

問題

$a$ を実数とし,座標平面上の円 $x^{2} + y^{2} = 8$ を $C_{1},$ 放物線 $y = \frac{1}{4} x^{2} + a$ を $C_{2}$ とする。以下の問いに答えよ。(問1)　 $C_{1}$ と $C_{2}$ の共有点の個数が $4$ 個のとき, $a$ のとりうる値の範囲を求めよ。(問2)　 $C_{1}$ と $C_{2}$ の共有点の個数が $2$ 個であるような $a$ の最小値を求め,そのときの共有点 $P,$ $Q$ の座標を求めよ。ただし, $P$ の $x$ 座標は $Q$ の $x$ 座標より小さいとする。(問3)　 $a$ が(問2)で求めた値であるとき,直線 $P Q$ の下側で, $C_{1}$ と $C_{2}$ によって囲まれた部分の面積を求めよ。

出典：熊本大学 2024年度前期文理共通第3問

方針

解法1（標準解法）

交点は $t = x^{2}$ で整理する。円に放物線を代入して $t$ の二次方程式を作り、正の異なる根の個数で共有点数を判定する。(問2)の最小値 $a = - 3$ では交点を求め、(問3)は下側の円弧と放物線の差を積分する。

解法2（$y$で消去し円弧を扇形で計算）

交点条件を $x^{2} = 4 (y - a)$ として $y$ だけの二次方程式へ落とし、各 $y$ に対応する $x$ の個数を数える。面積は直線 $P Q$ と放物線の間から、直線 $P Q$ と円の下側の弧の間の円弧部分を引く。

解答

解法1（標準解法）

(問1)

$t = x^{2} (t ≧ 0)$ とおく。交点では

t + (\frac{t}{4} + a)^{2} = 8

である。整理すると

t^{2} + (8 a + 16) t + 16 a^{2} - 128 = 0

である。 $u = a + 3$ とおくと、二つの根は

t = - 4 a - 8 \pm 8 a + 3

である。共有点が $4$ 個であるためには、 $t$ の二つの根が異なる正の数であればよい。これは

0 < u < 2 - 1

と同値である。したがって

- 3 < a < - 22

である。

(問2)

共有点が $2$ 個となる $a$ の最小値は、(問1)の左端である

a = - 3

である。このとき

y = \frac{1}{4} x^{2} - 3

であり、円との交点は

x^{2} + (\frac{1}{4} x^{2} - 3)^{2} = 8

を満たす。 $t = x^{2}$ とおくと $(t - 4)^{2} = 0$ であるから $x = \pm 2$ 、 $y = - 2$ である。よって

P = (- 2, - 2), Q = (2, - 2)

である。

(問3)

$a = - 3$ のとき、直線 $P Q$ は $y = - 2$ である。その下側で囲まれる部分は、 $- 2 ≦ x ≦ 2$ において下側の円弧

y = - 8 - x^{2}

と放物線

y = \frac{1}{4} x^{2} - 3

で囲まれる部分である。したがって面積は

\int_{- 2}^{2} {- 8 - x^{2} - (\frac{1}{4} x^{2} - 3)} d x

である。偶関数性を用いて

2 \int_{0}^{2} (3 - \frac{x ^{2}}{4} - 8 - x^{2}) d x = 2 (\frac{16}{3} - (2 + π)) = \frac{20}{3} - 2 π

である。

解法2（$y$で消去し円弧を扇形で計算）

(問1)

放物線から $x^{2} = 4 (y - a)$ である。これを円へ代入すると

y^{2} + 4 y - 4 a - 8 = 0,

したがって

y = - 2 \pm 2 a + 3 .

各 $y$ について $x^{2} = 4 (y - a) > 0$ なら左右2点が生じる。 $u = a + 3$ とおくと、低い方の $y$ に対する $x^{2}$ は

4 {- 2 - 2 u - (u^{2} - 3)} = 4 (1 - 2 u - u^{2}) .

2つの $y$ が異なり、どちらも $x^{2} > 0$ となる条件は

0 < u < 2 - 1.

よって

- 3 < a < - 22 .

(問2)

実数の $y$ が初めて生じるのは $a = - 3$ で、このとき二次方程式は $(y + 2)^{2} = 0$ である。 $x^{2} = 4 (y - a) = 4$ より

P = (- 2, - 2), Q = (2, - 2) .

したがって求める最小値は $a = - 3$ である。

図を準備中です。

(問3)

直線 $P Q$ は $y = - 2$ である。直線 $P Q$ と放物線の間の面積は

\int_{- 2}^{2} {- 2 - (\frac{x ^{2}}{4} - 3)} d x = \frac{8}{3} .

一方、円の半径は $22$ で、弦 $P Q$ が作る下側の小弓形の中心角は $π /2$ である。その面積は

\frac{1}{2} (22)^{2} \frac{π}{2} - \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 2 π - 4.

求める領域は前者から小弓形を引いたものなので

\frac{8}{3} - (2 π - 4) = \frac{20}{3} - 2 π .

熊本大学 2024年度文理共通数学 第3問（文系学部）

問題

方針

解法1（標準解法）

解法2（$y$で消去し円弧を扇形で計算）

解答

解法1（標準解法）

(問1)

(問2)

(問3)

解法2（$y$で消去し円弧を扇形で計算）

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2024年度
文理共通数学第3問（文系学部）