熊本大学 2024年度文理共通数学第4問（理工系）解答・解説

問題

実数からなる数列 ${a_{n}}$ は $n = 1, 2, 3, \dots$ に対して

a_{n + 1} = {3^{n - 1} lo g_{3} a_{n} (a_{n} < 1 のとき), (a_{n} ≧ 1 のとき)

を満たすとする。以下の問いに答えよ。

(問1) $2$ 以上の自然数 $n$ に対して $a_{n} ≧ 0$ であることを示せ。

(問2) $a_{4} + a_{5} = 1$ のとき、 $a_{3}, a_{4}, a_{5}$ を求めよ。

(問3) $a_{4} + a_{5} = 1$ のとき、 $a_{1}$ のとりうる値の範囲の最大値と最小値をそれぞれ $M_{1}, m_{1}$ とし、 $a_{2}$ のとりうる値の範囲の最大値と最小値をそれぞれ $M_{2}, m_{2}$ とする。このとき、 $m_{1} + m_{2} + lo g_{3} (M_{1} M_{2})$ の値を求めよ。

出典：熊本大学 2024年度前期文理共通第4問

方針

解法1（標準解法）

漸化式の分岐を後ろから逆算する。 $a_{4} + a_{5} = 1$ では $a_{4} < 1$ の場合が不可能なので $a_{4} = 1, a_{5} = 0$ を得る。さらに $a_{3}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{1}$ へ順に戻り、とりうる範囲の最大・最小を読む。

解法2（逆像の木を作る）

各段の値を作る直前の値（逆像）を列挙する。 $a_{5}$ から $a_{4}, a_{3}$ を一意に戻し、 $a_{3} = 3$ の逆像を $a_{2}$ 、さらに $a_{2}$ の逆像を $a_{1}$ として集合で整理する。

解答

解法1（標準解法）

(問1)

$n = 1$ の式から、 $a_{1} < 1$ なら $a_{2} = 1$ 、 $a_{1} ≧ 1$ なら $a_{2} = lo g_{3} a_{1} ≧ 0$ である。したがって $a_{2} ≧ 0$ である。

$n ≧ 2$ で $a_{n} ≧ 0$ とする。 $a_{n} < 1$ なら $a_{n + 1} = 3^{n - 1} > 0$ 、 $a_{n} ≧ 1$ なら $a_{n + 1} = lo g_{3} a_{n} ≧ 0$ である。よって数学的帰納法により、 $2$ 以上の自然数 $n$ に対して $a_{n} ≧ 0$ である。

(問2)

$a_{4} < 1$ なら $a_{5} = 3^{3} = 27$ となり、 $a_{4} + a_{5} = 1$ に反する。したがって $a_{4} ≧ 1$ であり

a_{5} = lo g_{3} a_{4}

である。 $a_{4} + lo g_{3} a_{4} = 1$ で、左辺は $a_{4} ≧ 1$ で増加するから

a_{4} = 1, a_{5} = 0

である。

次に $a_{3} < 1$ なら $a_{4} = 3^{2} = 9$ となるので不適である。よって $a_{3} ≧ 1$ かつ $lo g_{3} a_{3} = 1$ であり

a_{3} = 3

である。

(問3)

$a_{3} = 3$ となる $a_{2}$ を求める。 $a_{2} < 1$ なら $a_{3} = 3$ であり、 $a_{2} ≧ 1$ なら $a_{3} = lo g_{3} a_{2} = 3$ より $a_{2} = 27$ である。したがって

0 ≦ a_{2} < 1 または a_{2} = 27

である。よって

m_{2} = 0, M_{2} = 27

である。

また $a_{1} < 1$ なら $a_{2} = 1$ となり不適である。したがって $a_{1} ≧ 1$ で、 $a_{2} = lo g_{3} a_{1}$ である。上の $a_{2}$ の範囲から

1 ≦ a_{1} < 3 または a_{1} = 3^{27}

である。よって

m_{1} = 1, M_{1} = 3^{27}

である。したがって

m_{1} + m_{2} + lo g_{3} (M_{1} M_{2}) = 1 + 0 + lo g_{3} (3^{27} \cdot 27) = 31

である。

解法2（逆像の木を作る）

(問1)

$a_{1} < 1$ なら $a_{2} = 1$ 、 $a_{1} ≧ 1$ なら $a_{2} = lo g_{3} a_{1} ≧ 0$ なので $a_{2} ≧ 0$ である。さらに $a_{n} ≧ 0$ なら、 $a_{n} < 1$ の枝では $a_{n + 1} = 3^{n - 1} > 0$ 、 $a_{n} ≧ 1$ の枝では $a_{n + 1} = lo g_{3} a_{n} ≧ 0$ である。帰納法により

a_{n} ≧ 0 (n ≧ 2) .

(問2)

$a_{4} < 1$ なら $a_{5} = 27$ となって $a_{4} + a_{5} = 1$ に反する。よって $a_{4} ≧ 1$ で、

a_{4} + lo g_{3} a_{4} = 1.

左辺は $a_{4} ≧ 1$ で狭義単調増加であり、 $a_{4} = 1$ が解なので

a_{4} = 1, a_{5} = 0.

$a_{4} = 1$ の逆像を調べると、 $a_{3} < 1$ の枝は $a_{4} = 9$ となるため不適であり、 $lo g_{3} a_{3} = 1$ から

a_{3} = 3.

(問3)

$a_{3} = 3$ の逆像は

a_{2} \in [0, 1) または a_{2} = 27.

したがって $m_{2} = 0, M_{2} = 27$ である。次に $a_{1} < 1$ なら $a_{2} = 1$ となり上の集合に入らない。 $a_{1} ≧ 1$ では $a_{2} = lo g_{3} a_{1}$ だから

a_{1} \in [1, 3) または a_{1} = 3^{27} .

よって $m_{1} = 1, M_{1} = 3^{27}$ である。以上から

m_{1} + m_{2} + lo g_{3} (M_{1} M_{2}) = 1 + 0 + lo g_{3} (3^{27} \cdot 3^{3}) = 31.

熊本大学 2024年度文理共通数学 第4問（理工系）

問題

方針

解法1（標準解法）

解法2（逆像の木を作る）

解答

解法1（標準解法）

(問1)

(問2)

(問3)

解法2（逆像の木を作る）

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2024年度
文理共通数学第4問（理工系）