熊本大学 2024年度文理共通数学数学② 第3問／数学③ 第2問解答・解説

問題

$0 < θ < \frac{π}{3}$ とする。 $A B = 1,$ $∠ B A C = 3 θ$ である $△ A B C$ について,辺 $B C$ の中点を $D$ としたとき, $∠ B A D = 2 θ$ が成り立つとする。以下の問いに答えよ。(問1)　 $A C = 2 cos θ$ であることを示せ。(問2)　 $B C$ を $cos θ$ を用いて表せ。(問3)　 $B C$ の最大値とそのときの $θ$ の値を求めよ。

出典：熊本大学 2024年度前期文理共通数学② 第3問／数学③ 第2問

方針

解法1（標準解法）

$A$ を原点、 $A B$ を $x$ 軸に置き、 $A C = x$ として中点 $D$ の方向角が $2 θ$ であることを式にする。 $A C$ を求めた後、余弦定理で $B C^{2}$ を $cos θ$ の二次式に直し、最大値は $u = cos^{2} θ$ で処理する。

解法2（正弦定理と平方完成）

$B D = C D$ を、 $△ A B D$ と $△ A C D$ の正弦定理で表すと $A C$ が直ちに決まる。続いて余弦定理で $B C^{2}$ を求め、 $u = cos^{2} θ$ について平方完成して最大値を読む。

解答

解法1（標準解法）

(問1)

$A C = x$ とする。点 $A$ を原点、 $A B$ を $x$ 軸上に取ると

B = (1, 0), C = (x cos 3 θ, x sin 3 θ)

である。 $D$ は $B C$ の中点なので

D = (\frac{1 + x cos 3 θ}{2}, \frac{x sin 3 θ}{2})

である。 $∠ B A D = 2 θ$ より

tan 2 θ = \frac{x sin 3 θ}{1 + x cos 3 θ}

である。したがって

sin 2 θ (1 + x cos 3 θ) = x cos 2 θ sin 3 θ

であり、整理すると

sin 2 θ = x sin θ

となる。 $0 < θ < π /3$ より $sin θ > 0$ なので

A C = x = 2 cos θ

である。

(問2)

余弦定理より

B C^{2} = 1 + (2 cos θ)^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 2 cos θ cos 3 θ

である。 $cos 3 θ = 4 cos^{3} θ - 3 cos θ$ を用いると

B C^{2} = 1 + 16 cos^{2} θ - 16 cos^{4} θ

である。したがって

B C = 1 + 16 cos^{2} θ - 16 cos^{4} θ

である。

(問3)

$u = cos^{2} θ$ とおくと、 $0 < θ < π /3$ より $1/4 < u < 1$ であり

B C^{2} = - 16 u^{2} + 16 u + 1

である。この二次式は $u = 1/2$ で最大となる。よって

B C^{2} = 5

であり、最大値は $5$ である。このとき $cos^{2} θ = 1/2$ で、範囲より

θ = \frac{π}{4}

である。

解法2（正弦定理と平方完成）

(問1)

$α = ∠ A D B$ とおく。 $B, D, C$ は一直線上にあるから $∠ A D C = π - α$ である。正弦定理より

△ A B D : B D = \frac{sin 2 θ}{sin α},

△ A C D : C D = A C \frac{sin θ}{sin ( π - α )} = A C \frac{sin θ}{sin α} .

$D$ は $B C$ の中点なので $B D = C D$ である。したがって

sin 2 θ = A C sin θ .

$0 < θ < π /3$ より $sin θ > 0$ であり、

A C = \frac{sin 2 θ}{sin θ} = 2 cos θ .

図を準備中です。

(問2)

$∠ B A C = 3 θ$ なので余弦定理から

B C^{2} = 1 + 4 cos^{2} θ - 4 cos θ cos 3 θ .

$cos 3 θ = 4 cos^{3} θ - 3 cos θ$ を代入し、

B C = 1 + 16 cos^{2} θ - 16 cos^{4} θ .

(問3)

$u = cos^{2} θ$ とすると $1/4 < u < 1$ であり、

B C^{2} = 1 + 16 u - 16 u^{2} = 5 - 16 (u - \frac{1}{2})^{2} .

$u = 1/2$ は範囲内にあるから、最大値は $B C^{2} = 5$ 、すなわち

B C_{m a x} = 5 .

このとき $cos^{2} θ = 1/2$ で、指定範囲より

θ = \frac{π}{4} .

熊本大学 2024年度文理共通数学 数学② 第3問／数学③ 第2問

問題

方針

解法1（標準解法）

解法2（正弦定理と平方完成）

解答

解法1（標準解法）

(問1)

(問2)

(問3)

解法2（正弦定理と平方完成）

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2024年度
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