熊本大学 2024年度文理共通数学第3問（医学部医学科）解答・解説

問題

$k$ を実数とし, $f (x) = sin^{2} x - cos x - 1 + k$ とおく。曲線 $y = f (x)$ $(0 ≦ x ≦ \frac{3 π}{2})$ を $C$ とする。以下の問いに答えよ。(問1)　曲線 $C$ と $x$ 軸の共有点の個数が $k$ の値によってどのように変わるか調べよ。(問2)　曲線 $C$ と $x$ 軸の共有点が $2$ 個以上あるような $k$ に対し, $g (k)$ を $g (k) = \int_{p_{1}}^{p_{2}} f (x) sin x d x$ と定める。ただし, $p_{1},$ $p_{2}$ はそれぞれ,曲線 $C$ と $x$ 軸の共有点の $x$ 座標のうち $1$ 番小さいもの, $2$ 番目に小さいものとする。 $g (k)$ の最大値と最小値を求めよ。

出典：熊本大学 2024年度前期文理共通第3問

方針

解法1（標準解法）

$u = cos x$ とおくと $f (x) = k - u^{2} - u$ となる。まず $u \in [- 1, 1]$ での二次方程式の根と、区間 $[0, 3 π /2]$ における $cos x = u$ の解の個数を数える。(問2)は最初の二つの解が $cos x$ の二つの根に対応するので、 $u$ で積分して根の間の放物線面積にする。

解法2（二次関数のグラフと平方完成）

$h (u) = u^{2} + u$ のグラフと $u = cos x$ の値のとり方を分離して共有点数を数える。積分では2根の中点 $- 1/2$ と根間距離を使って被積分関数を平方完成し、対称区間の積分として求める。

解答

解法1（標準解法）

(問1)

$u = cos x$ とおくと

f (x) = sin^{2} x - cos x - 1 + k = k - u^{2} - u

である。共有点は

u^{2} + u - k = 0

を満たす $u = cos x$ に対応する。 $u^{2} + u$ の $- 1 ≦ u ≦ 1$ での値域は

- \frac{1}{4} ≦ u^{2} + u ≦ 2

である。

$k < - 1/4$ または $k > 2$ では共有点はない。

$k = - 1/4$ では $u = - 1/2$ であり、 $[0, 3 π /2]$ に解は $2$ 個ある。

$- 1/4 < k < 0$ では二つの根がともに $(- 1, 0)$ にある。それぞれに対し $[0, 3 π /2]$ に解が $2$ 個あるので、共有点は $4$ 個である。

$k = 0$ では $u = - 1, 0$ であり、解の個数は $1 + 2 = 3$ 個である。

$0 < k < 2$ では一つの根だけが $(0, 1)$ にあるので、共有点は $1$ 個である。 $k = 2$ では $u = 1$ に対応し、共有点は $1$ 個である。

(問2)

共有点が $2$ 個以上あるのは

- \frac{1}{4} ≦ k ≦ 0

である。方程式 $u^{2} + u - k = 0$ の二つの根を $r_{1} ≦ r_{2}$ とすると

r_{2} - r_{1} = 1 + 4 k

である。最初の二つの共有点に対応する $u$ の値は $r_{2}, r_{1}$ であるから、 $u = cos x$ 、 $d u = - sin x d x$ により

g (k) = \int_{r_{1}}^{r_{2}} (k - u^{2} - u) d u

である。これは根の間の下に凸な二次式の面積であり、

g (k) = \int_{r_{1}}^{r_{2}} (u - r_{1}) (r_{2} - u) d u = \frac{( r _{2} - r _{1} ) ^{3}}{6} = \frac{( 1 + 4 k ) ^{3/2}}{6}

である。したがって $- 1/4 ≦ k ≦ 0$ で

min g (k) = 0, max g (k) = \frac{1}{6}

である。

解法2（二次関数のグラフと平方完成）

(問1)

$u = cos x$ とおけば $f (x) = 0$ は

h (u) = u^{2} + u = k, - 1 ≦ u ≦ 1

となる。 $h$ は $u = - 1/2$ で最小値 $- 1/4$ をとり、 $h (- 1) = h (0) = 0, h (1) = 2$ である。

$u \in (- 1, 0)$ に対する $cos x = u$ は $0 ≦ x ≦ 3 π /2$ で2解、 $u \in (0, 1)$ では1解である。端点も別に数えると、共有点数は

k 個数 (- \infty, - 1/4) 0 - 1/4 2 (- 1/4, 0) 4 03 (0, 2) 1 21 (2, \infty) 0

である。

(問2)

対象は $- 1/4 ≦ k ≦ 0$ である。2根を $r_{1} ≦ r_{2}$ 、根間距離を

d = r_{2} - r_{1} = 1 + 4 k

とする。 $u = cos x$ 、 $d u = - sin x d x$ より、最初の2共有点の間では

g (k) = \int_{r_{1}}^{r_{2}} (k - u^{2} - u) d u .

根の中点は $- 1/2$ なので $v = u + 1/2$ とおけば、積分区間は $[- d /2, d /2]$ 、被積分関数は $d^{2} /4 - v^{2}$ である。したがって

g (k) = \int_{- d /2}^{d /2} (\frac{d ^{2}}{4} - v^{2}) d v = \frac{d ^{3}}{6} = \frac{( 1 + 4 k ) ^{3/2}}{6} .

これは $k$ について増加するから

min g (k) = g (- 1/4) = 0, max g (k) = g (0) = \frac{1}{6} .

熊本大学 2024年度文理共通数学 第3問（医学部医学科）

問題

方針

解法1（標準解法）

解法2（二次関数のグラフと平方完成）

解答

解法1（標準解法）

(問1)

(問2)

解法2（二次関数のグラフと平方完成）

(問1)

(問2)

熊本大学 2024年度
文理共通数学第3問（医学部医学科）