熊本大学 2024年度文理共通数学第1問（理工系）解答・解説

問題

$e$ を自然対数の底とする。以下の問いに答えよ。(問1)　曲線 $y = e^{x}$ 上の点 $(a, e^{a})$ における接線の方程式を求めよ。(問2)　(問1)で求めた接線の傾きを $p,$ $y$ 切片を $q$ とする。 $q$ を $p$ の式で表せ。(問3)　(問2)で求めた $p$ の式を $f (p)$ とする。曲線 $y = f (x)$ 上の点 $(1, f (1))$ における接線 $l_{1}$ および点 $(e, f (e))$ における接線 $l_{2}$ の方程式を求めよ。(問4)　(問3)で求めた $2$ 本の接線 $l_{1},$ $l_{2}$ および曲線 $y = f (x)$ によって囲まれた部分の面積を求めよ。

出典：熊本大学 2024年度前期文理共通第1問

方針

解法1（標準解法）

$y = e^{x}$ の接線から傾き $p = e^{a}$ と切片 $q = e^{a} (1 - a)$ を得て、 $a = lo g p$ で $f (p)$ に直す。 $f (x) = x (1 - lo g x)$ の接線を求め、二本の接線と曲線の位置を確認して積分する。

解法2（接線の包絡と原始関数で整理）

接線の係数を直接 $p$ で表し、 $f^{''} (x) < 0$ から接線が曲線の上側にあることを確認する。面積は2本の接線のうち低い方と $f$ との差として区間を分け、共通の原始関数で端点計算する。

解答

解法1（標準解法）

(問1)

$y = e^{x}$ の $x = a$ における傾きは $e^{a}$ である。したがって接線は

y - e^{a} = e^{a} (x - a)

すなわち

y = e^{a} x + e^{a} (1 - a)

である。

(問2)

$p = e^{a}$ であるから $a = lo g p$ であり、 $p > 0$ である。 $y$ 切片は

q = e^{a} (1 - a) = p (1 - lo g p)

である。

(問3)

f (x) = x (1 - lo g x)

であるから

f^{'} (x) = - lo g x

である。 $f (1) = 1, f^{'} (1) = 0$ より

l_{1} : y = 1

である。また $f (e) = 0, f^{'} (e) = - 1$ より

l_{2} : y = - x + e

である。

(問4)

二直線 $l_{1}, l_{2}$ の交点は $x = e - 1$ である。 $f (x)$ は上に凸であり、接線は曲線の上側にあるから、求める面積は

\int_{1}^{e - 1} {1 - f (x)} d x + \int_{e - 1}^{e} {- x + e - f (x)} d x

である。 $f (x) = x - x lo g x$ を用いて計算すると

\int_{1}^{e - 1} (1 - x + x lo g x) d x + \int_{e - 1}^{e} (e - 2 x + x lo g x) d x = e - \frac{e ^{2} + 3}{4}

である。

解法2（接線の包絡と原始関数で整理）

(問1)

接点を $(a, e^{a})$ とすると、微分係数は $e^{a}$ である。点傾きの式から

y = e^{a} (x - a) + e^{a} = e^{a} x + e^{a} (1 - a) .

(問2)

$p = e^{a} > 0$ より $a = lo g p$ である。したがって

q = e^{a} (1 - a) = p (1 - lo g p) .

よって $f (p) = p (1 - lo g p)$ である。

(問3)

$f^{'} (x) = - lo g x$ なので、 $x = 1, e$ における接線はそれぞれ

ℓ_{1} : y = 1, ℓ_{2} : y = - x + e .

(問4)

$f^{''} (x) = - 1/ x < 0$ であるから、各接線は曲線の上側にある。また $ℓ_{1}$ と $ℓ_{2}$ は $x = e - 1$ で交わる。囲まれた領域の上端は、 $1 ≦ x ≦ e - 1$ では $ℓ_{1}$ 、 $e - 1 ≦ x ≦ e$ では $ℓ_{2}$ である。

ここで

\int x lo g x d x = \frac{x ^{2}}{2} lo g x - \frac{x ^{2}}{4}

を用いると、面積 $S$ は

S = \int_{1}^{e - 1} (1 - x + x lo g x) d x + \int_{e - 1}^{e} (e - 2 x + x lo g x) d x = e - \frac{e ^{2} + 3}{4} .

$e^{2} - 4 e + 3 = (e - 1) (e - 3) < 0$ よりこの値は正であり、領域の取り方とも整合する。

熊本大学 2024年度文理共通数学 第1問（理工系）

問題

方針

解法1（標準解法）

解法2（接線の包絡と原始関数で整理）

解答

解法1（標準解法）

(問1)

(問2)

(問3)

(問4)

解法2（接線の包絡と原始関数で整理）

(問1)

(問2)

(問3)

(問4)

熊本大学 2024年度
文理共通数学第1問（理工系）