熊本大学 2024年度文理共通数学第1問（文系学部）解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ は $0 < a_{n} < \frac{π}{2}$ かつ $tan a_{n} = n$ を満たすとする。以下の問いに答えよ。(問1)　 $cos^{2} a_{n}$ を $n$ の式で表せ。(問2)　 $tan (a_{n + 1} - a_{n})$ を $n$ の式で表せ。(問3)　 $\frac{t a n ( a _{n + 1} - a _{n} )}{c o s ^{2} a _{n}} > \frac{9}{10}$ を満たす $n$ の最小値を求めよ。

出典：熊本大学 2024年度前期文理共通第1問

方針

解法1（標準解法）

$tan a_{n} = n$ から $cos^{2} a_{n} = 1/ (1 + n^{2})$ を出す。差の正接は加法定理で計算する。最後は得られた有理式の不等式を二次不等式として解き、自然数の最小値を読む。

解法2（単調性で最小値を判定）

$a_{n}$ を直角三角形の鋭角とみて $sin a_{n}, cos a_{n}$ を直接表す。差角の正接を求めた後、得られる数列が単調増加であることを示し、 $n = 8, 9$ だけを比較して最小値を確定する。

解答

解法1（標準解法）

(問1)

1 + tan^{2} a_{n} = \frac{1}{cos ^{2} a _{n}}

であり、 $tan a_{n} = n$ だから

cos^{2} a_{n} = \frac{1}{n ^{2} + 1}

である。

(問2)

正接の加法定理より

tan (a_{n + 1} - a_{n}) = \frac{tan a _{n + 1} - tan a _{n}}{1 + tan a _{n + 1} tan a _{n}} = \frac{1}{n ^{2} + n + 1}

である。

(問3)

(問1)、(問2)より

\frac{tan ( a _{n + 1} - a _{n} )}{cos ^{2} a _{n}} = \frac{n ^{2} + 1}{n ^{2} + n + 1}

である。したがって

\frac{n ^{2} + 1}{n ^{2} + n + 1} > \frac{9}{10}

は

n^{2} - 9 n + 1 > 0

と同値である。この二次式の正の大きい方の解は $(9 + 77) /2$ で、これは $8$ と $9$ の間にある。よって条件を満たす $n$ の最小値は

9

である。

解法2（単調性で最小値を判定）

(問1)

$0 < a_{n} < π /2$ かつ $tan a_{n} = n$ なので、直角三角形の辺を $1, n, n^{2} + 1$ とみれば

cos a_{n} = \frac{1}{n ^{2} + 1}, cos^{2} a_{n} = \frac{1}{n ^{2} + 1} .

(問2)

差角公式から

tan (a_{n + 1} - a_{n}) = \frac{( n + 1 ) - n}{1 + n ( n + 1 )} = \frac{1}{n ^{2} + n + 1} .

(問3)

左辺を $R_{n}$ とすると

R_{n} = \frac{n ^{2} + 1}{n ^{2} + n + 1} .

直接差をとれば

R_{n + 1} - R_{n} = \frac{n ^{2} + n - 1}{( n ^{2} + n + 1 ) ( n ^{2} + 3 n + 3 )} > 0

であり、 $R_{n}$ は自然数 $n$ について単調増加する。一方

R_{8} = \frac{65}{73} < \frac{9}{10}, R_{9} = \frac{82}{91} > \frac{9}{10} .

したがって条件を満たす最小の自然数は

n = 9

である。

熊本大学 2024年度文理共通数学 第1問（文系学部）

問題

方針

解法1（標準解法）

解法2（単調性で最小値を判定）

解答

解法1（標準解法）

(問1)

(問2)

(問3)

解法2（単調性で最小値を判定）

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2024年度
文理共通数学第1問（文系学部）