熊本大学 2024年度文理共通数学第1問（医学部医学科）解答・解説

問題

$n$ 個の袋 $A_{1},$ $A_{2}, \dots,$ $A_{n}$ がある。 $A_{k}$ $（ 1 ≦ k ≦ n ）$ の中には白玉が $k$ 個,黒玉が $n - k$ 個入っている。次の(操作)を考える。

(操作)(操作1)　 $n$ 個の袋から無作為に $1$ つの袋を選び,それを $A$ とおく。(操作2)　次の試行を $s$ 回繰り返す。袋 $A$ から無作為に玉を $1$ 個取り出し,玉の色を調べてから取り出した玉を袋 $A$ に戻す。以下の問いに答えよ。(問1)　 $s = 2$ とする。(操作)を行うとき,白玉がちょうど $1$ 回取り出される確率を $n$ を用いて表せ。(問2)　 $s = 100$ とする。(操作1)を行った結果, $A = A_{k}$ であった。このとき,(操作2)で白玉がちょうど $t$ 回取り出される条件付き確率を $p (t)$ とする。 $n = 3 k$ が成り立つとき, $p (t)$ を最大にする $t$ の値を求めよ。(問3)　 $s = 10$ とする。(操作)を行うとき,白玉がちょうど $3$ 回取り出される確率を $q_{n}$ とする。このとき, $lim_{n \to \infty} q_{n}$ を求めよ。

出典：熊本大学 2024年度前期文理共通第1問

方針

解法1（標準解法）

袋 $A_{k}$ が選ばれたときの白玉確率は $k / n$ である。(問1)は $k$ について平均し、(問2)は二項分布の隣接比で最大となる $t$ を決める。(問3)は平均をリーマン和として $\int_{0}^{1} 120 x^{3} (1 - x)^{7} d x$ に帰着する。

解法2（平均とべき和の極限）

袋番号を一様な確率変数 $K$ とみなし、白玉確率 $K / n$ について平均する。(問2)は二項確率の前後比を両側から比較し、(問3)は $(1 - k / n)^{7}$ を展開して各べき和の極限を用いる。

解答

解法1（標準解法）

(問1)

袋 $A_{k}$ が選ばれたとき、白玉が出る確率は $k / n$ である。 $s = 2$ で白玉がちょうど $1$ 回出る条件付き確率は

2 \cdot \frac{k}{n} (1 - \frac{k}{n})

である。袋は等確率に選ばれるので、求める確率は

\frac{1}{n} k = 1 \sum n 2 \cdot \frac{k}{n} (1 - \frac{k}{n}) = \frac{2}{n ^{3}} k = 1 \sum n k (n - k) = \frac{n ^{2} - 1}{3 n ^{2}}

である。

(問2)

$n = 3 k$ であるから、袋 $A_{k}$ から白玉が出る確率は $1/3$ である。したがって

p (t) =_{100} C_{t} (\frac{1}{3})^{t} (\frac{2}{3})^{100 - t}

である。隣り合う項の比は

\frac{p ( t + 1 )}{p ( t )} = \frac{100 - t}{t + 1} \cdot \frac{1}{2}

である。これは $t ≦ 32$ で $1$ より大きく、 $t ≧ 33$ で $1$ より小さい。よって $p (t)$ を最大にする $t$ は

33

である。

(問3)

$s = 10$ で白玉がちょうど $3$ 回出る確率は

q_{n} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n_{10} C_{3} (\frac{k}{n})^{3} (1 - \frac{k}{n})^{7}

である。これはリーマン和であるから

n \to \infty lim q_{n} = 120 \int_{0}^{1} x^{3} (1 - x)^{7} d x

である。ここで

(1 - x)^{7} = 1 - 7 x + 21 x^{2} - 35 x^{3} + 35 x^{4} - 21 x^{5} + 7 x^{6} - x^{7}

を用いて計算すると

\int_{0}^{1} x^{3} (1 - x)^{7} d x = \frac{1}{1320}

である。したがって

n \to \infty lim q_{n} = \frac{120}{1320} = \frac{1}{11}

である。

解法2（平均とべき和の極限）

(問1)

$K$ を選ばれた袋番号とすると $K$ は $1, \dots, n$ 上で一様である。 $K = k$ のもとで白玉がちょうど1回出る確率は $2 (k / n) (1 - k / n)$ だから

P = \frac{1}{n} k = 1 \sum n 2 \frac{k}{n} (1 - \frac{k}{n}) = \frac{2}{n ^{3}} (n k = 1 \sum n k - k = 1 \sum n k^{2}) = \frac{n ^{2} - 1}{3 n ^{2}} .

(問2)

$n = 3 k$ なら1回の白玉確率は $1/3$ なので

p (t) =_{100} C_{t} (\frac{1}{3})^{t} (\frac{2}{3})^{100 - t} .

最大の項では $p (t) ≧ p (t - 1)$ かつ $p (t) ≧ p (t + 1)$ である。隣接比から

\frac{p ( t )}{p ( t - 1 )} = \frac{101 - t}{2 t}, \frac{p ( t + 1 )}{p ( t )} = \frac{100 - t}{2 ( t + 1 )} .

両条件を満たす整数は $t = 33$ だけである。よって最大にする値は

t = 33.

(問3)

q_{n} = \frac{120}{n} k = 1 \sum n (\frac{k}{n})^{3} (1 - \frac{k}{n})^{7} .

二項展開し、各 $j ≧ 0$ について

n \to \infty lim \frac{1}{n} k = 1 \sum n (\frac{k}{n})^{j} = \frac{1}{j + 1}

を用いると

n \to \infty lim q_{n} = 120 j = 0 \sum 7 (- 1)^{j}_{7} C_{j} \frac{1}{j + 4} = 120 \int_{0}^{1} x^{3} (1 - x)^{7} d x = 120 \cdot \frac{1}{1320} = \frac{1}{11} .

展開によるべき和計算と積分値が同じ有限和を与える。

熊本大学 2024年度文理共通数学 第1問（医学部医学科）

問題

方針

解法1（標準解法）

解法2（平均とべき和の極限）

解答

解法1（標準解法）

(問1)

(問2)

(問3)

解法2（平均とべき和の極限）

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2024年度
文理共通数学第1問（医学部医学科）