熊本大学 2024年度文理共通数学数学① 第4問／数学② 第2問解答・解説

問題

平面上に点 $O$ を中心とする半径 $2$ の円 $D$ がある。円 $D$ の周上に相異なる $3$ 点 $A,$ $B,$ $C$ をとる。ただし,直線 $A B,$ $B C,$ $C A$ は点 $O$ を通らないとする。 $2$ 点 $A,$ $B$ における円 $D$ のそれぞれの接線の交点を $P$ とする。同様に, $2$ 点 $B,$ $C$ における円 $D$ のそれぞれの接線の交点を $Q,$ $2$ 点 $C,$ $A$ における円 $D$ のそれぞれの接線の交点を $R$ とする。 $O A = a,$ $O B = b,$ $O C = c$ とするとき,以下の問いに答えよ。(問1)　 $O P = \frac{4}{4 + a \cdot b} (a + b)$ が成り立つことを示せ。(問2)　 $a \cdot b = - 23$ のとき,線分 $O P$ の長さを求めよ。(問3)　 $a \cdot b = a \cdot c = - 23$ かつ $b \cdot c = 2$ のとき, $△ P QR$ の面積を求めよ。

出典：熊本大学 2024年度前期文理共通数学① 第4問／数学② 第2問

方針

解法1（標準解法）

接点における半径と接線の垂直条件から $O P$ を求める。数値条件では座標を置いて $a = (2, 0)$ 、 $b = (- 3, 1)$ 、 $c = (- 3, - 1)$ としてよい。そこから $P, Q, R$ を求め、底辺と高さで面積を出す。

解法2（接線方程式を座標で解く）

半径ベクトル $u$ をもつ円周上の点での接線を $u \cdot x = 4$ と表す。(問1)は候補ベクトルを2本の接線式へ代入して一意性を示し、数値条件では回転して $a = (2, 0)$ と置き、連立一次方程式と行列式で面積を求める。

解答

解法1（標準解法）

(問1)

$O P = p$ とおく。点 $A$ での接線は $O A$ に垂直であるから

a \cdot (p - a) = 0

であり、 $∣ a ∣ = 2$ より

a \cdot p = 4

である。同様に

b \cdot p = 4

である。 $P$ は二接線の交点なので $p$ は $a + b$ の方向にあり、

p = t (a + b)

とおける。これを $a \cdot p = 4$ に代入すると

t (4 + a \cdot b) = 4

である。よって

O P = \frac{4}{4 + a \cdot b} (a + b)

である。

(問2)

$a \cdot b = - 23$ のとき

∣ a + b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} + 2 a \cdot b = 8 - 43

である。したがって

O P^{2} = \frac{16 ( 8 - 4 3 )}{( 4 - 2 3 ) ^{2}} = 16 (2 + 3)

となるので

O P = 2 (6 + 2)

である。

(問3)

座標を

a = (2, 0), b = (- 3, 1), c = (- 3, - 1)

とおくと、与えられた内積条件をすべて満たす。(問1)より

P = (2, 4 + 23), Q = (- \frac{4 3}{3}, 0), R = (2, - 4 - 23)

である。よって $P R$ を底辺とすると

P R = 8 + 43

であり、 $Q$ から直線 $P R$ までの距離は

2 + \frac{4 3}{3}

である。したがって

[△ P QR] = \frac{1}{2} (8 + 43) (2 + \frac{4 3}{3}) = 16 + \frac{28 3}{3}

である。

解法2（接線方程式を座標で解く）

(問1)

位置ベクトル $u$ をもつ円周上の点での接線は

u \cdot x = ∣ u ∣^{2} = 4

である。したがって $P$ の位置ベクトル $p$ は

a \cdot p = 4, b \cdot p = 4

を満たす。ここで

p_{0} = \frac{4}{4 + a \cdot b} (a + b)

とおけば、 $∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 2$ より

a \cdot p_{0} = \frac{4 ( 4 + a \cdot b )}{4 + a \cdot b} = 4

であり、 $b$ についても同様である。2接線は平行でないから交点は一意であり、 $p = p_{0}$ である。

(問2)

$a \cdot b = - 23$ を代入すると

O P^{2} = \frac{16∣ a + b ∣ ^{2}}{( 4 - 2 3 ) ^{2}} = \frac{16 ( 8 - 4 3 )}{( 4 - 2 3 ) ^{2}} = 16 (2 + 3) .

よって

O P = 4 2 + 3 = 2 (6 + 2) .

(問3)

図形全体を回転しても面積は変わらないので

a = (2, 0), b = (- 3, 1), c = (- 3, - 1)

と置ける。各接線を連立すると

P = (2, 4 + 23), Q = (- \frac{4 3}{3}, 0), R = (2, - 4 - 23) .

図を準備中です。

行列式で面積を計算すれば

[△ P QR] = \frac{1}{2} det (P Q, P R) = \frac{1}{2} (2 + \frac{4 3}{3}) (8 + 43) = 16 + \frac{28 3}{3} .

熊本大学 2024年度文理共通数学 数学① 第4問／数学② 第2問

問題

方針

解法1（標準解法）

解法2（接線方程式を座標で解く）

解答

解法1（標準解法）

(問1)

(問2)

(問3)

解法2（接線方程式を座標で解く）

(問1)

(問2)

(問3)

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