九州大学 2003年度理系数学第5問(b) 解答・解説

問題

$θ$ を $0 < θ < \frac{π}{2}$ である定数とする．座標平面上で， $a^{2} > 4 b$ を満たす点 $P (a, b)$ から放物線 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ に引いた二つの接線の接点を $Q$ ， $R$ とし，接線 $P Q$ ， $P R$ の傾きをそれぞれ $m_{1}$ ， $m_{2}$ とおく．点 $P$ は $∠ QP R = θ$ を満たしている．点 $P$ の全体が作る図形を $G$ とする．

(1) $m_{1} < 0 < m_{2}$ のとき， $tan θ$ を $m_{1}$ と $m_{2}$ で表せ．

(2) $G$ を数式で表せ．

(3) $θ = \frac{π}{4}$ のとき $G$ を図示せよ．

出典：九州大学 2003年度前期日程第2次学力試験理系第5問(b)

方針

放物線 $y = x^{2} /4$ の接線を傾き $m$ で $y = m x - m^{2}$ と表す。点 $P (a, b)$ を通る接線の傾きは $m^{2} - am + b = 0$ の2根なので、根と係数の関係で $m_{1} + m_{2}$ 、 $m_{1} m_{2}$ 、 $m_{2} - m_{1}$ を $a, b$ に直す。角度条件は $tan θ = ∣ (m_{2} - m_{1}) / (1 + m_{1} m_{2}) ∣$ として、 $b = - 1$ の直角の場合を除き、軌跡の式を得る。

解答

(1)

2直線の傾きが $m_{1}, m_{2}$ であるとき、2直線のなす角 $θ$ について $tan θ = \frac{m _{2} - m _{1}}{1 + m _{1} m _{2}}$ である。特に $m_{1} < 0 < m_{2}$ で、 $1 + m_{1} m_{2} > 0$ の向きで書けば $tan θ = \frac{m _{2} - m _{1}}{1 + m _{1} m _{2}}$ である。一般には絶対値をつけて扱う。

(2)

放物線 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ に傾き $m$ の接線を引く。接点の $x$ 座標は $2 m$ であり、接点は $(2 m, m^{2})$ である。したがって接線は $y - m^{2} = m (x - 2 m)$ すなわち $y = m x - m^{2}$ である。

この接線が $P (a, b)$ を通るためには $b = ma - m^{2}$ すなわち $m^{2} - am + b = 0$ であればよい。この2根が $m_{1}, m_{2}$ であるから $m_{1} + m_{2} = a, m_{1} m_{2} = b$ であり、また $m_{2} - m_{1} = a^{2} - 4 b$ である。 $0 < θ < π /2$ なので、 $m_{1} m_{2} = - 1$ 、すなわち $b = - 1$ の場合は2直線が直交してしまい除かれる。したがって $tan θ = \frac{a ^{2} - 4 b}{∣1 + b ∣}$ である。これを2乗して $a^{2} - 4 b = (1 + b)^{2} tan^{2} θ$ を得る。逆にこの式を満たし、 $b \neq = - 1$ であれば、2本の接線のなす角は $θ$ である。

よって $G : a^{2} - 4 b = (1 + b)^{2} tan^{2} θ, b \neq = - 1$ である。なお、この式の右辺が正であるため、 $b \neq = - 1$ なら $a^{2} > 4 b$ も満たされる。

(3)

$θ = π /4$ のとき $tan θ = 1$ だから $a^{2} - 4 b = (1 + b)^{2}$ である。整理すると $a^{2} = b^{2} + 6 b + 1$ すなわち $(b + 3)^{2} - a^{2} = 8$ である。

これは中心が $(0, - 3)$ 、上下に開く双曲線である。条件 $a^{2} > 4 b$ はこの曲線上では $(1 + b)^{2} > 0$ と同じで、実際に曲線は $b = - 1$ を通らない。したがって上側の枝 $b = - 3 + a^{2} + 8$ と下側の枝 $b = - 3 - a^{2} + 8$ の両方を描く。

九州大学 2003年度理系数学 第5問(b)

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2003年度
理系数学第5問(b)