九州大学 2003年度理系数学第3問解答・解説

問題

座標平面上で， $x$ 座標と $y$ 座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ．格子点を頂点とし，辺の長さが1である正方形(周は含まない)を単位正方形と呼ぶことにする． $p$ ， $n$ を自然数とし，領域

D_{n} = {(x, y) ∣0 ≦ x, x^{p} ≦ y ≦ n}

を考え，その面積を $S_{n}$ とする． $L_{n}$ と $M_{n}$ を，それぞれ $D_{n}$ に含まれる格子点の個数および単位正方形の個数とする．

(1) グラフ $y = x^{p}$ $(0 ≦ x ≦ n^{\frac{1}{p}})$ と交わる単位正方形の個数は $n$ であることを示せ．

(2) 不等式 $M_{n} < S_{n} < M_{n} + n$ を示せ．また，面積 $S_{n}$ を求めよ．

(3) 極限値 $n \to \infty lim n^{- \frac{p + 1}{p}} L_{n}$ を求めよ．

出典：九州大学 2003年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

曲線 $y = x^{p}$ は単調に上がるので、各水平帯 $j < y < j + 1$ を1回ずつ通る。このため境界曲線に交わる単位正方形の個数が $n$ 個に抑えられ、面積 $S_{n}$ と完全に含まれる単位正方形数 $M_{n}$ の差を評価できる。最後は格子点数 $L_{n}$ も面積との差が高々 $n$ の定数倍であることを示し、主項 $n^{(p + 1) / p}$ で割って極限を取る。

解答

(1)

曲線 $y = x^{p}$ は $x ≧ 0$ で単調に増加する。 $0 ≦ y ≦ n$ を $j ≦ y ≦ j + 1 (j = 0, 1, \dots, n - 1)$ という $n$ 個の水平な帯に分けると、曲線は各帯をちょうど1回ずつ通る。

各帯の中で、曲線が通る単位正方形は1個だけである。したがって、グラフ $y = x^{p}$ と交わる単位正方形の個数は $n$ である。

(2)

$D_{n}$ に完全に含まれる単位正方形の面積の合計は $M_{n}$ である。一方、 $D_{n}$ と単位正方形のずれは、境界の曲線 $y = x^{p}$ と交わる単位正方形の部分だけで起こる。(1) よりその個数は $n$ 個であり、各単位正方形の面積は1である。したがって $M_{n} < S_{n} < M_{n} + n$ である。

また、 $D_{n}$ の面積は

S_{n} = \int_{0}^{n^{1/ p}} (n - x^{p}) d x = [n x - \frac{x ^{p + 1}}{p + 1}]_{0}^{n^{1/ p}} = n \cdot n^{1/ p} - \frac{n ^{(p + 1) / p}}{p + 1} = \frac{p}{p + 1} n^{(p + 1) / p} .

(3)

格子点数 $L_{n}$ と面積 $S_{n}$ の差も、境界付近の点の個数で評価できる。実際、各格子点を左下隅にもつ単位正方形と対応させると、完全に $D_{n}$ に入る正方形から来る点を除いた残りは、曲線付近または座標軸・上辺付近に限られる。これらの個数は $n$ の定数倍で抑えられるので $∣ L_{n} - S_{n} ∣ ≦ C n$ となる定数 $C$ が存在する。

したがって

n^{- (p + 1) / p} L_{n} - n^{- (p + 1) / p} S_{n} ≦ C n^{- 1/ p}

であり、右辺は $n \to \infty$ で0に近づく。よって

n \to \infty lim n^{- (p + 1) / p} L_{n} = n \to \infty lim n^{- (p + 1) / p} S_{n} = \frac{p}{p + 1} .

九州大学 2003年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2003年度
理系数学第3問