九州大学 2003年度理系数学第4問(b) 解答・解説

問題

$0 < a < 1$ である定数 $a$ に対し，複素数平面上で $z = t + ai$ ( $t$ は実数全体を動く) が表す直線を $l$ とする．ただし， $i$ は虚数単位である．

(1) 複素数 $z$ が $l$ 上を動くとき， $z^{2}$ が表す点の軌跡を図示せよ．

(2) 直線 $l$ を，原点を中心に角 $θ$ だけ回転移動した直線を $m$ とする． $m$ と(1)で求めた軌跡との交点の個数を $sin θ$ の値で場合分けして求めよ．

出典：九州大学 2003年度前期日程第2次学力試験理系第4問(b)

方針

$z = t + ai$ とおいて $z^{2}$ の実部・虚部を計算し、 $t$ を消去して放物線を得る。回転後の直線は、元の直線に戻したときの虚部が $a$ であることから方程式を立てる。放物線と直線を連立し、 $sin θ$ の値で二次方程式の判別式と一次式に退化する場合を分ける。

解答

(1)

$z = t + ai$ とおくと $z^{2} = (t + ai)^{2} = t^{2} - a^{2} + 2 a t i$ である。 $z^{2} = X + iY$ とおけば $X = t^{2} - a^{2}, Y = 2 a t$ である。したがって $t = \frac{Y}{2 a}$ を消去して $X = \frac{Y ^{2}}{4 a ^{2}} - a^{2}$ を得る。

よって軌跡は、頂点 $(- a^{2}, 0)$ 、軸が $X$ 軸で、 $X$ 軸の正の向きに開く放物線である。

(2)

点 $X + iY$ が回転後の直線 $m$ 上にあることは、これを角 $- θ$ だけ戻した点が直線 $l$ 上にあることと同値である。したがって $Im {(X + iY) (cos θ - i sin θ)} = a$ であり、 $- X sin θ + Y cos θ = a$ が $m$ の方程式である。

(1) の放物線 $X = \frac{Y ^{2}}{4 a ^{2}} - a^{2}$ を代入すると $- (\frac{Y ^{2}}{4 a ^{2}} - a^{2}) sin θ + Y cos θ = a$ である。 $sin θ \neq = 0$ のとき、これは $Y$ の二次方程式であり、その判別式は正の定数倍を除いて $1 - \frac{s i n θ}{a}$ である。したがって、 $sin θ < a$ なら2点、 $sin θ = a$ なら1点、 $sin θ > a$ なら0点である。

ただし $sin θ = 0$ のときは二次方程式ではなく $Y cos θ = a$ となり、 $cos θ = \pm 1$ なので放物線と1点で交わる。

以上より交点の個数は

⎩ ⎨ ⎧ 210 (sin θ < a, sin θ \neq = 0), (sin θ = 0 または sin θ = a), (sin θ > a)

である。特に $sin θ < 0$ のときは第1の場合に含まれ、2点で交わる。

九州大学 2003年度理系数学 第4問(b)

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 2003年度
理系数学第4問(b)