九州大学 2003年度理系数学第1問解答・解説

問題

$x y$ 平面上で， $x = r (t) cos t$ ， $y = r (t) sin t$ $(0 ≦ t ≦ π)$ で表される曲線を $C$ とする．

(1) $r (t) = e^{- t}$ のとき， $x$ の最小値と $y$ の最大値を求め， $C$ の概形を図示せよ．

(2) 一般に，すべての実数 $t$ で微分可能な関数 $r (t)$ に対し，

\int_{0}^{π} {r (t)}^{2} r^{'} (t) sin^{2} t cos t d t = \int_{0}^{π} {r (t)}^{3} (sin^{3} t - \frac{2}{3} sin t) d t

が成り立つことを示せ．ここで， $r^{'} (t)$ は $r (t)$ の導関数である．

(3) (1)で求めた曲線 $C$ と $x$ 軸とで囲まれる図形を， $x$ 軸のまわりに一回転してできる立体の体積 $V$ は $V = \frac{2 π}{3} \int_{0}^{π} e^{- 3 t} sin t d t$ と表せることを示せ．

出典：九州大学 2003年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

(1) は $r (t) = e^{- t}$ を代入して $x = e^{- t} cos t$ 、 $y = e^{- t} sin t$ をそれぞれ微分し、端点も含めて最小・最大を確認する。(2) は $r (t)^{3} sin^{2} t cos t$ の導関数を積分し、端点で $sin t = 0$ となることから恒等式を得る。(3) は回転体の体積を $π \int y^{2} (- d x)$ の形で表し、(2) の恒等式を代入して指定された式へ整理する。

解答

(1)

$r (t) = e^{- t}$ のとき $x = e^{- t} cos t, y = e^{- t} sin t$ である。

まず $x$ を微分すると $\frac{d x}{d t} = e^{- t} (- cos t - sin t)$ である。したがって $d x / d t = 0$ となるのは $cos t + sin t = 0$ すなわち、 $0 ≦ t ≦ π$ では $t = \frac{3 π}{4}$ である。端点も調べると

x (0) = 1, x (π) = - e^{- π}, x (\frac{3 π}{4}) = - \frac{e ^{- 3 π /4}}{2}

である。よって最小値は $- \frac{e ^{- 3 π /4}}{2}$ である。

次に $y$ を微分すると $\frac{d y}{d t} = e^{- t} (cos t - sin t)$ である。 $d y / d t = 0$ となるのは $t = \frac{π}{4}$ であり、端点では $y (0) = y (π) = 0$ である。したがって最大値は $\frac{e ^{- π /4}}{2}$ である。

曲線 $C$ は $(1, 0)$ から出発し、上半平面を通って、原点へ近づきながら左側へ回り、最後に $(- e^{- π}, 0)$ に至る。左端は $t = 3 π /4$ 、最も高い点は $t = π /4$ である。

(2)

$F (t) = {r (t)}^{3} sin^{2} t cos t$ とおく。積の微分により

F^{'} (t) = 3 r (t)^{2} r^{'} (t) sin^{2} t cos t + r (t)^{3} {2 sin t cos^{2} t - sin^{3} t} .

ここで $t = 0, π$ では $sin t = 0$ なので $F (0) = F (π) = 0$ である。したがって $F^{'} (t)$ を $0$ から $π$ まで積分すると

0 = 3 \int_{0}^{π} r^{2} r^{'} sin^{2} t cos t d t + \int_{0}^{π} r^{3} (2 sin t cos^{2} t - sin^{3} t) d t .

よって

\int_{0}^{π} r^{2} r^{'} sin^{2} t cos t d t = \frac{1}{3} \int_{0}^{π} r^{3} (sin^{3} t - 2 sin t cos^{2} t) d t = \int_{0}^{π} r^{3} (sin^{3} t - \frac{2}{3} sin t) d t

である。これで示された。

(3)

媒介変数表示より $d x = (r^{'} (t) cos t - r (t) sin t) d t, y = r (t) sin t$ である。曲線と $x$ 軸で囲まれる図形を $x$ 軸のまわりに回転すると、体積は $V = π \int_{0}^{π} r (t)^{2} sin^{2} t {r (t) sin t - r^{'} (t) cos t} d t$ と表せる。これは $π y^{2}$ を、曲線が右から左へ進む向きの $- d x$ で積み上げる式である。

したがって

V = π \int_{0}^{π} r^{3} sin^{3} t d t - π \int_{0}^{π} r^{2} r^{'} sin^{2} t cos t d t .

(2) を用いると

V = π \int_{0}^{π} r^{3} sin^{3} t d t - π \int_{0}^{π} r^{3} (sin^{3} t - \frac{2}{3} sin t) d t = \frac{2 π}{3} \int_{0}^{π} r^{3} sin t d t .

ここで $r (t) = e^{- t}$ を代入すれば $V = \frac{2 π}{3} \int_{0}^{π} e^{- 3 t} sin t d t$ である。

九州大学 2003年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2003年度
理系数学第1問