九州大学 2003年度
理系数学 第4問(a)

解答

(1)

$O=(0,0,0),A=(a,0,0),B=(0,b,0),C=(0,0,c)$ とおくことができる。三角形 $ABC$ の重心は $G=\left(\frac{a}{3},\frac{b}{3},\frac{c}{3}\right)$ である。 $\angle OGA=90^{\circ }$ であることは $\overrightarrow{GO}\cdot \overrightarrow{GA}=0$ と同値である。ここで

なので $\overrightarrow{GO}\cdot \overrightarrow{GA}=\frac{-2a^2+b^2+c^2}{9}$ である。よって $2a^2=b^2+c^2$ を得る。

同様に $2b^2=c^2+a^2,2c^2=a^2+b^2$ である。3式を比べると $a^2=b^2=c^2$ であり、長さは正なので $\boxed{a=b=c}$ である。逆に $a=b=c$ なら上の3式はすべて成り立つので、これは必要十分条件である。

(2)

線分 $BC$ を $BD:DC=1:2$ に内分する点は $D=\frac{2B+C}{3}=\left(0,\frac{2b}{3},\frac{c}{3}\right)$ である。点 $P$ は直線 $AD$ 上にあるので、実数 $\lambda$ を用いて

と表せる。$P\ne A$ なので $\lambda \ne 0$ であるが、後で得る最小点は $\lambda \ne 0$ を満たす。

三角形 $APQ$ の重心が $G$ であるから $\frac{A+P+Q}{3}=G$ である。したがって $Q=3G-A-P=(a,b,c)-A-P$ より

である。

よって

である。これは $\lambda$ の二次式であり、最小にする $\lambda$ は $\lambda =\frac{3(3a^2+2b^2+c^2)}{9a^2+4b^2+c^2}$ である。この値を代入すると $\min O{Q}^2=\frac{a^2{b}^2+4a^2{c}^2+b^2{c}^2}{9a^2+4b^2+c^2}$ となる。したがって $\boxed{\min OQ=\sqrt{\frac{a^2{b}^2+4a^2{c}^2+b^2{c}^2}{9a^2+4b^2+c^2}}}$ である。

なお、(1) の条件 $a=b=c$ が成り立つ場合には $\min OQ=a\sqrt{\frac{3}{7}}$ となる。